Bài viết này chúng tôi trích bài toán về tiếp tuyến kẻ từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt cầu trong khoá học Tư duy trắc nghiệm toán và bám sát toàn diện toán 12 tại link: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chuong-trinh-dgnl-hoc-va-giai-toan-trac-nghiem-thpt-quoc-gia-2017-kh963493378.html. Bài toán này hay và khó, nhiều học sinh đặt vấn đề nên sẽ trình bày cho các bạn thu thêm kiến thức và kĩ năng về dạng toán vận dụng cao này! 

Bài toán như sau: 

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=27.$ Tìm điểm $M$ thuộc $\Delta $ kẻ được 3 đường thẳng tiếp xúc với $(S)$ lần lượt tại A,B,C sao cho tam giác ABC vuông tại B và $\widehat{AMB}={{60}^{0}},\widehat{CMA}={{120}^{0}}.$

A. $\left[ \begin{align} & M(5;4;7) \\ & M\left( -\frac{5}{3};-\frac{8}{3};\frac{1}{3} \right) \\ \end{align} \right..$

B. $\left[ \begin{align} & M(-1;-2;1) \\ & M\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right) \\ \end{align} \right..$

C. $\left[ \begin{align} & M(0;-3;0) \\ & M\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right) \\ \end{align} \right..$

D. $\left[ \begin{align} & M(1;0;3) \\ & M(-4;-5;-2) \\ \end{align} \right..$ .

Giải. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3),$ bán kính $R=3\sqrt{3}.$ Gọi $M(-1+t;-2+t;1+t)\in \Delta .$

Ta có $\left\{ \begin{align} & IA=IB=IC=3\sqrt{3} \\ & MA=MB=MC \\ \end{align} \right.\Rightarrow IM$ là trục ngoại tiếp của tam giác $ABC,$ do đó $IM\bot (ABC)$ và $IM$ qua trung điểm $H$ của $AC.$

Tam giác ABC vuông tại B và $\widehat{AMB}={{60}^{0}},\widehat{CMA}={{120}^{0}},$ suy ra

$MA=MB=MA=AB=a,AC=a\sqrt{3}.$ Ta có $IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-{{\left( \frac{AC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{27-\frac{3{{a}^{2}}}{4}},MH=\sqrt{M{{A}^{2}}-{{\left( \frac{AC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a}{2}.$

Mặt khác $IM=\sqrt{I{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{27+{{a}^{2}}}=IH+HM.$

Vậy ta có phương trình:

$\sqrt{27+{{a}^{2}}}=\frac{a}{2}+\sqrt{27-\frac{3{{a}^{2}}}{4}}\Leftrightarrow a=3>0\Rightarrow IM=6.$

Vậy ta có phương trình:

${(t - 2)^2} + {(t - 4)^2} + {(t - 2)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = - \frac{2}{3} \hfill \\ t = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} M(5;4;7) \hfill \\ M\left( { - \frac{5}{3}; - \frac{8}{3};\frac{1}{3}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Chọn đáp án A.

Vted thông báo chương trình Ưu đãi học phí các khoá học Vted dành cho K99 từ ngày 26 tháng 03 năm 2017 đến hết  ngày 31 tháng 03 năm 2017 như sau:

(ÁP DỤNG TỪ 26/03/2017 ĐẾN HẾT NGÀY 31/03/2017)

Riêng các em học sinh 2000 trở đi có thể tham khảo khoá học: PRO X TOÁN 2018 tại Vted được xây dựng dành riêng cho các em tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

(Video giới thiệu khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted)

(Video giới thiệu lộ trình Khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted)

Các em là học sinh 2000 hiện tại là lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 theo dõi cho thầy khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted sau đây:

Video giới thiệu khóa‼️ Pro X Toán 2018 tại Vted các em xem kĩ nhé! #vted

⚡️⚡️Khoá học dành riêng cho học sinh K2000 Luyện thi THPT Quốc Gia Môn Toán!

1️⃣HỌC TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

2️⃣ÔN TẬP HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 11 CÓ TRONG ĐỀ THI 2018

3️⃣ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA GIÚP BẠN ĐẠT ĐẾN 10 ĐIỂM

💯 KÈM 30 ĐỀ BÁM SÁT CẤU TRÚC CỰC CHẤT

▶️😮ƯU ĐÃI CỰC SỐC: 600.000đ so với học phí gốc: 1.200.000đ😮

---------------------------

➡️➡️CHƯƠNG TRÌNH ƯU ĐÃI CHỈ ÁP DỤNG TỪ NGÀY 15.03.2017 ĐẾN HẾT NGÀY 31.03.2017

▶️👉 👉Đăng kí học ngay tại links: https://goo.gl/m22862

TẢI VỀ ĐỀ THI BẢN PDF

Vted thông báo chương trình Ưu đãi học phí các khoá học Vted dành cho K99 từ ngày 26 tháng 03 năm 2017 đến hết  ngày 31 tháng 03 năm 2017 như sau:

(ÁP DỤNG TỪ 26/03/2017 ĐẾN HẾT NGÀY 31/03/2017)

Riêng các em học sinh 2000 trở đi có thể tham khảo khoá học: PRO X TOÁN 2018 tại Vted được xây dựng dành riêng cho các em tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

(Video giới thiệu khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted)

(Video giới thiệu lộ trình Khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted)

Các em là học sinh 2000 hiện tại là lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 theo dõi cho thầy khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted sau đây:

Video giới thiệu khóa‼️ Pro X Toán 2018 tại Vted các em xem kĩ nhé! #vted

⚡️⚡️Khoá học dành riêng cho học sinh K2000 Luyện thi THPT Quốc Gia Môn Toán!

1️⃣HỌC TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

2️⃣ÔN TẬP HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 11 CÓ TRONG ĐỀ THI 2018

3️⃣ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA GIÚP BẠN ĐẠT ĐẾN 10 ĐIỂM

💯 KÈM 30 ĐỀ BÁM SÁT CẤU TRÚC CỰC CHẤT

▶️😮ƯU ĐÃI CỰC SỐC: 600.000đ so với học phí gốc: 1.200.000đ😮

---------------------------

➡️➡️CHƯƠNG TRÌNH ƯU ĐÃI CHỈ ÁP DỤNG TỪ NGÀY 15.03.2017 ĐẾN HẾT NGÀY 31.03.2017

▶️👉 👉Đăng kí học ngay tại links: https://goo.gl/m22862

TẢI VỀ ĐỀ THI BẢN PDF

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!