Giải đáp học sinh - Một dạng bài toán của nguyên hàm và tích phân

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[-2;1]$ thoả mãn ${{f}^{2}}(x).{f}'(x)=3{{x}^{2}}+4x+2$ với $f(0) =1$. Hỏi giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;1]$ là ? Giải. Ta có $\int{(3{{x}^{2}}+4x+2)dx}={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+C=\int{{{f}^{2}}(x).{f}'(x)dx}=\int{{{f}^{2}}(x)df(x)}=\frac{1}{3}{{f}^{3}}(x).$ Vì $f(0)=1\Rightarrow C=\frac{{{1}^{3}}}{3}=\frac{1}{3},$ vì vậy$f(x)=\sqrt[3]{3\left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+\frac{1}{3} \right)}.$ Do đó khảo sát hàm số, ta có $\underset{[-2;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(1)=2\sqrt[3]{2}.$ Chọn đáp án A.

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!