Giải đáp học sinh - Tính giới hạn của một dãy số tổng thông qua dãy số ban đầu dựa vào tìm công thức số hạng tổng quát

Cho dãy số $u_{u}$ xác định bởi

\[{{u}_{1}}=2,{{u}_{2}}=4,\frac{{{u}_{n+1}}}{2}=\frac{{{u}_{1}}}{1}+\frac{{{u}_{2}}}{3}+...+\frac{{{u}_{n}}}{2n-1},\forall n\ge 1.\] Theo giả thiết, ta có \[\left\{ \begin{align} & {{u}_{n+1}}=2\left( \frac{{{u}_{1}}}{1}+\frac{{{u}_{2}}}{3}+...+\frac{{{u}_{n}}}{2n-1} \right) \\ & {{u}_{n}}=2\left( \frac{{{u}_{1}}}{1}+\frac{{{u}_{2}}}{3}+...+\frac{{{u}_{n-1}}}{2n-3} \right) \\ \end{align} \right..\] Trừ theo vế ta được \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2{{u}_{n}}}{2n-1}\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}(2n+1)}{2n-1},n\ge 2\Rightarrow {{u}_{n+1}}=\frac{2n+1}{2n-1}.\frac{2n-1}{2n-3}....\frac{2.2+1}{2.2-1}{{u}_{2}}=\frac{4(2n+1)}{3}.\] Vì vậy \[{{S}_{n}}=\frac{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}}{{{n}^{3}}}=\frac{u_{1}^{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{{{\left[ \frac{4}{3}(2n+1) \right]}^{2}}}}{{{n}^{3}}}=\frac{{{2}^{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{{{\left[ \frac{4}{3}(2n+1) \right]}^{2}}}}{{{n}^{3}}}=\frac{4(16{{n}^{3}}-12n+5)}{9{{n}^{3}}}\Rightarrow \lim {{S}_{n}}=\frac{64}{9}.\]

Các em tham khảo thêm các dạng toán dãy số thi hsg 11 và 12 tại khoá học olympic toán 11 theo link: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11-kh071103157.html

Các em là học sinh 2000 hiện tại là lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 theo dõi cho thầy khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted sau đây:

Video giới thiệu khóa‼️ Pro X Toán 2018 tại Vted các em xem kĩ nhé! #vted

⚡️⚡️Khoá học dành riêng cho học sinh K2000 Luyện thi THPT Quốc Gia Môn Toán!

1️⃣HỌC TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

2️⃣ÔN TẬP HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 11 CÓ TRONG ĐỀ THI 2018

3️⃣ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA GIÚP BẠN ĐẠT ĐẾN 10 ĐIỂM

💯 KÈM 30 ĐỀ BÁM SÁT CẤU TRÚC CỰC CHẤT

▶️😮ƯU ĐÃI CỰC SỐC: 600.000đ so với học phí gốc: 1.200.000đ😮

---------------------------

➡️➡️CHƯƠNG TRÌNH ƯU ĐÃI CHỈ ÁP DỤNG TỪ NGÀY 15.03.2017 ĐẾN HẾT NGÀY 31.03.2017

▶️👉 👉Đăng kí học ngay tại links: https://goo.gl/m22862

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!