Bài viết này, chúng ta cùng đi xác định chính xác tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giác được sinh ra từ một hình chóp tứ giác và công thức xác định bán kính của mặt cầu đó trong trường hợp đặc biệt là hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:
Câu hỏi có nội dung như sau:
Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên $SA=a$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD).$ Gọi $E$ là trung điểm cạnh $CD.$ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp $R$ của hình chóp $S.ABE.$
A. $R=\frac{a\sqrt{37}}{4}.$
B. $R=\frac{a\sqrt{41}}{8}.$
C. $R=\frac{5a}{8}.$
D. $R=\frac{a\sqrt{5}}{4}.$
Giải. Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AEB,$
• Dựng trục ngoại tiếp $\Delta $ tam giác $AEB$ là đường thẳng qua $O,$ song song với $SA.$
• Dựng mặt phẳng trung trực $(P)$ của $SA.$
• Giao của $(P),\Delta $ là tâm $I$ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABE.$
Ta có $AMIO$ là hình chữ nhật, vì vậy
\[R=IA=\sqrt{O{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{R_{ABE}^{2}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}.\]
trong đó
\[SA=a,OA={{R}_{ABE}}=\frac{EA.EB.AB}{4{{S}_{ABE}}}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}.a}{4\left( \frac{1}{2}.a.a \right)}=\frac{\frac{5{{a}^{3}}}{4}}{2{{a}^{2}}}=\frac{5}{8}a.\]
Vậy \[R=\sqrt{{{\left( \frac{5}{8}a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{41}a}{8}.\]
Chọn đáp án B.
*Chú ý. Khi đã thành thục kiến thức, các bạn nhận xét hình chóp $S.AEB$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(EAB),$ do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp \[R=\sqrt{R_{AEB}^{2}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}.\]
Ta xét tiếp ví dụ tiếp theo sau đây:
Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ với $AB=BC=a,AD=2a.$ Cạnh bên $SA=a$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD).$ Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AD.$ Xác định bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CED.$
A. $R=\frac{a\sqrt{15}}{2}.$
B. $R=\frac{a\sqrt{13}}{2}.$
C. $R=\frac{a\sqrt{14}}{2}.$
D. $R=\frac{a\sqrt{11}}{2}.$
Giải.
Hình chóp $C.ESD$ có đường cao $CE,$ do đó
\[R=\sqrt{r_{ESD}^{2}+{{\left( \frac{CE}{2} \right)}^{2}}}\] Trong đó $CE=AB=a,{{R}_{EDS}}=\frac{SD}{2\sin \angle SED}=\frac{a\sqrt{10}}{2}.$ Do vậy $R=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{10}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}.$
Chọn đáp án D.
Các em tham khảo phương pháp xác định nhanh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp trong khoá học bám sát toàn diện toán 12 theo link: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/vted-plus-khoa-hoc-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-bam-sat-chuong-trinh-lop-12-nam-2017-kh666412600.html
Các em hãy share bài viết này về tường lưu lại, trong bài viết tiếp theo về mặt cầu chúng tôi sẽ đề cập đến công thức tính nhanh bán kính ngoại tiếp của một hình chóp bất kì.
Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Các em là học sinh 2000 hiện tại là lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 theo dõi cho thầy khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted sau đây:
Video giới thiệu khóa‼️ Pro X Toán 2018 tại Vted các em xem kĩ nhé! #vted
⚡️⚡️Khoá học dành riêng cho học sinh K2000 Luyện thi THPT Quốc Gia Môn Toán!
1️⃣HỌC TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12
2️⃣ÔN TẬP HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 11 CÓ TRONG ĐỀ THI 2018
3️⃣ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA GIÚP BẠN ĐẠT ĐẾN 10 ĐIỂM
💯 KÈM 30 ĐỀ BÁM SÁT CẤU TRÚC CỰC CHẤT
▶️😮ƯU ĐÃI CỰC SỐC: 600.000đ so với học phí gốc: 1.200.000đ😮
---------------------------
➡️➡️CHƯƠNG TRÌNH ƯU ĐÃI CHỈ ÁP DỤNG TỪ NGÀY 15.03.2017 ĐẾN HẾT NGÀY 31.03.2017
▶️👉 👉Đăng kí học ngay tại links: https://goo.gl/m22862
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: