Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp lượng giác hoá

Mọi phương trình bậc ba luôn đưa được về dạng: ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0.$

Đặt $x=y-\dfrac{a}{3}\Rightarrow {{y}^{3}}+\left( b-\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)y+c+\dfrac{2{{a}^{3}}-9ab}{27}=0.$

Đặt $p=b-\dfrac{{{a}^{2}}}{3},q=c+\dfrac{2{{a}^{3}}-9ab}{27}\Rightarrow {{y}^{3}}+py+q=0.$

Như vậy, mọi phương trình bậc ba luôn đưa được về dạng: ${{x}^{3}}+px+q=0\text{ }\left( * \right).$

Với điều kiện ràng buộc giữa $p$ và $q$ ta có thể giải phương trình (*) bằng cách lượng giác hoá, thông qua công thức góc nhân ba $\cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha $ như sau:

Xét phương trình bậc ba dạng: ${{x}^{3}}+px+q=0,\left( p<0,4{{p}^{3}}+27{{q}^{2}}\le 0 \right)$

Xét nghiệm $x\in \left[ -a;a \right]$ với $a>0$ được chọn sau, lúc này ta đặt $x=a.\cos \alpha ,\text{ }\left( \alpha \in \left[ 0;\pi \right] \right)$ phương trình trở thành:

${{a}^{3}}.{{\cos }^{3}}\alpha +ap.\cos \alpha +q=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha +\dfrac{4p}{{{a}^{2}}}\cos \alpha =-\dfrac{4q}{{{a}^{3}}}\text{ }\left( 1 \right).$

Chọn $a>0$ sao cho $\dfrac{4p}{{{a}^{2}}}=-3\Leftrightarrow {{a}^{2}}=-\dfrac{4}{3}p\Leftrightarrow a=2\sqrt{\dfrac{-p}{3}}$

$\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha =-\dfrac{q}{2{{\left( \sqrt{\dfrac{-p}{3}} \right)}^{3}}}\text{ }\left( 2 \right).$

Vì $4{{p}^{3}}+27{{q}^{2}}\le 0\Rightarrow \left| -\dfrac{q}{2{{\left( \sqrt{\dfrac{-p}{3}} \right)}^{3}}} \right|\le 1\Rightarrow \exists \beta \in \left[ 0;\pi \right]$ sao cho $\cos \beta =-\dfrac{q}{2{{\left( \sqrt{\dfrac{-p}{3}} \right)}^{3}}}$

$\Rightarrow \left( 2 \right)\Leftrightarrow \cos 3\alpha =\cos \beta \Leftrightarrow 3\alpha =\pm \beta +k2\pi \Rightarrow \alpha \in \left\{ \dfrac{-\beta +2\pi }{3},\dfrac{\beta }{3},\dfrac{\beta +2\pi }{3} \right\}.$

Vì phương trình bậc ba có tối đa ba nghiệm nên các nghiệm của phương trình là $x=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{-\beta +2\pi }{3} \right),x=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{\beta }{3} \right),x=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{\beta +2\pi }{3} \right).$

Ví dụ 1: Giải phương trình ${{x}^{3}}-3x-1=0.$

Xét nghiệm $x\in \left[ -2;2 \right],$ đặt $x=2\cos \alpha ,\text{ }\left( \alpha \in \left[ 0;\pi \right] \right)$ phương trình trở thành:

$8{{\cos }^{3}}\alpha -6\cos \alpha -1=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha =\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 3\alpha =\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 3\alpha =\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow \alpha \in \left\{ \dfrac{\pi }{9},\dfrac{5\pi }{9},\dfrac{7\pi }{9} \right\}.$

Vì phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên các nghiệm của phương trình là $x=2\cos \dfrac{\pi }{9},x=2\cos \dfrac{5\pi }{9},x=2\cos \dfrac{7\pi }{9}.$

Ví dụ 2: Giải phương trình \[{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+3=0.\]

Đặt \[x=y-2\Rightarrow {{y}^{3}}-3y+1=0.\]

Xét nghiệm $y\in \left[ -2;2 \right]$ ta đặt \[y=2\cos \alpha ,\alpha \in \left[ 0;\pi \right]\Rightarrow 8{{\cos }^{3}}\alpha -6\cos \alpha +1=0\]

\[\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha =-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 3\alpha =-\dfrac{1}{2}\]

\[\Leftrightarrow 3\alpha =\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow \alpha \in \left\{ \dfrac{2\pi }{9},\dfrac{4\pi }{9},\dfrac{8\pi }{9} \right\}.\]

Vì phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên các nghiệm của phương trình là

\[x=2\cos \dfrac{2\pi }{9}-2,x=2\cos \dfrac{4\pi }{9}-2,x=2\cos \dfrac{8\pi }{9}-2.\]

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Combo X Luyện thi 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.

Khi $p>0$ ta thực hiện phép đặt $x=k\left( t-\dfrac{1}{t} \right),\text{ }\left( k>0 \right)$ cụ thể như sau:

Xét phương trình \[{{x}^{3}}+px+q=0,\left( p>0 \right)\]

Đặt \[x=k\left( t-\dfrac{1}{t} \right)\] với $k$ là số thực dương được chọn sau, khi đó phương trình trở thành

\[{{k}^{3}}\left( {{t}^{3}}-\dfrac{1}{{{t}^{3}}}-3\left( t-\dfrac{1}{t} \right) \right)+pk\left( t-\dfrac{1}{t} \right)+q=0\]

\[\Leftrightarrow {{k}^{3}}\left( {{t}^{3}}-\dfrac{1}{{{t}^{3}}} \right)+\left( pk-3{{k}^{3}} \right)\left( t-\dfrac{1}{t} \right)+q=0\text{ }\left( 1 \right).\]

Chọn $k>0$ sao cho \[pk-3{{k}^{3}}=0\Leftrightarrow {{k}^{2}}=\dfrac{p}{3}\Leftrightarrow k=\sqrt{\dfrac{p}{3}}\]

\[\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow {{k}^{3}}\left( {{t}^{6}}-1 \right)+q{{t}^{3}}=0\Leftrightarrow {{t}^{6}}+\dfrac{q}{{{k}^{3}}}{{t}^{3}}-1=0.\]

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt \[{{t}_{1}}=\dfrac{-\dfrac{q}{{{k}^{3}}}-\sqrt{\dfrac{{{q}^{2}}}{{{k}^{6}}}+4}}{2},{{t}_{2}}=\dfrac{-\dfrac{q}{{{k}^{3}}}+\sqrt{\dfrac{{{q}^{2}}}{{{k}^{6}}}+4}}{2}\] và ${{t}_{1}}{{t}_{2}}=-1$

nên \[k\left( {{t}_{1}}-\dfrac{1}{{{t}_{1}}} \right)=k\left( {{t}_{2}}-\dfrac{1}{{{t}_{2}}} \right)=k\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)\]

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất \[x=k\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)=k\left[ \sqrt[3]{\dfrac{-\dfrac{q}{{{k}^{3}}}-\sqrt{\dfrac{{{q}^{2}}}{{{k}^{6}}}+4}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{-\dfrac{q}{{{k}^{3}}}+\sqrt{\dfrac{{{q}^{2}}}{{{k}^{6}}}+4}}{2}} \right].\]

Ví dụ 1: Giải phương trình ${{x}^{3}}+12x+12=0.$

Đặt $x=2\left( t-\dfrac{1}{t} \right)\Rightarrow 8\left( {{t}^{3}}-\dfrac{1}{{{t}^{3}}}-3\left( t-\dfrac{1}{t} \right) \right)+24\left( t-\dfrac{1}{t} \right)+12=0$

\[\Leftrightarrow 8\left( {{t}^{6}}-1 \right)+12{{t}^{3}}=0\Leftrightarrow 8{{t}^{6}}+12{{t}^{3}}-8=0\Leftrightarrow t=-\sqrt[3]{2};t=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}.\]

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x=2\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}-\sqrt[3]{2} \right).\]

Ví dụ 2: Giải phương trình $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-6x+1=0.$

Phương trình tương đương với: ${{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+3x-\dfrac{1}{2}=0.$

Đặt $x=y+\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+3\left( y+\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{y}^{3}}+\dfrac{9}{4}y+\dfrac{3}{4}=0.$

Đặt $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( t-\dfrac{1}{t} \right)\Rightarrow {{\left[ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( t-\dfrac{1}{t} \right) \right]}^{3}}+\dfrac{9\sqrt{3}}{8}\left( t-\dfrac{1}{t} \right)+\dfrac{3}{4}=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{3}}{8}\left( {{t}^{3}}-\dfrac{1}{{{t}^{3}}} \right)+\dfrac{3}{4}=0\Leftrightarrow {{t}^{6}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}{{t}^{3}}-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt[6]{3}};t=-\sqrt[6]{3}.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt[6]{3}}-\sqrt[6]{3} \right)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left( 1+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9} \right).$