Ví dụ 1: Tìm ma trận $X$ thoả mãn \[X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7&7 \\ {13}&{18}&{17} \end{array}} \right).\]
Ma trận cần tìm có dạng \[X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right).\] Khi đó giả thiết tương đương với:
\[\begin{gathered} X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7&7 \\ {13}&{18}&{17} \end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7&7 \\ {13}&{18}&{17} \end{array}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2b}&{a + 3b}&{ - a + 4b} \\ {c + 2d}&{c + 3d}&{ - c + 4d} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7&7 \\ {13}&{18}&{17} \end{array}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2b = 5 \hfill \\ a + 3b = 7 \hfill \\ - a + 4b = 7 \hfill \\ c + 2d = 13 \hfill \\ c + 3d = 18 \hfill \\ - c + 4d = 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ c = 3 \hfill \\ d = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ 3&5 \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]
Ví dụ 2: Tìm ma trận $X$ thoả mãn $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 2}&{ - 5} \\ 1&2&5 \end{array}} \right).$
Ma trận cần tìm phải có dạng $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right).$ Khi đó giả thiết tương đương với:
$\begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 2}&{ - 5} \\ 1&2&5 \end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2b}&{a + 3b}&{4b - a} \\ {c + 2d}&{c + 3d}&{4d - c} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 2}&{ - 5} \\ 1&2&5 \end{array}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2b = - 1 \hfill \\ a + 3b = - 2 \hfill \\ 4b - a = - 5 \hfill \\ c + 2d = 1 \hfill \\ c + 3d = 2 \hfill \\ 4d - c = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = - 1 \hfill \\ c = - 1 \hfill \\ d = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1} \\ { - 1}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \end{gathered} $
Ví dụ 3: Tìm tất cả các ma trận $X$ thoả mãn $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{11}\\ {11}&{25} \end{array}} \right)X = X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}&{14}\\ {14}&{10} \end{array}} \right).$
Ta có X là ma trận vuông cấp 2 và
\[\begin{array}{l} X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{11}\\ {11}&{25} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}&{14}\\ {14}&{10} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 11z}&{5y + 11t}\\ {11x + 25z}&{11y + 25t} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20x + 14y}&{14x + 10y}\\ {20z + 14t}&{14z + 10t} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x + 11z = 20x + 14y\\ 5y + 11t = 14x + 10y\\ 11x + 25z = 20z + 14t\\ 11y + 25t = 14z + 10t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = \frac{{15}}{{11}}x + \frac{{14}}{{11}}y\\ t = \frac{{14}}{{11}}x + \frac{5}{{11}}y \end{array} \right.. \end{array}\]
Vậy \[X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ {\frac{{15}}{{11}}x + \frac{{14}}{{11}}y}&{\frac{{14}}{{11}}x + \frac{5}{{11}}y} \end{array}} \right).\]
Ví dụ 4: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right).$ Tìm mọi ma trận $X$ thoả mãn $AX=XA.$
Đặt $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right).$
Ta có $AX = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} z&t\\ 0&0 \end{array}} \right);XA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&x\\ 0&z \end{array}} \right).$
Vậy $AX = XA \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 0\\ x = t\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ 0&x \end{array}} \right).$
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: