Giải phương trình ma trận khi không dùng được ma trận nghịch đảo


Giải phương trình ma trận khi không dùng được ma trận nghịch đảo, khi đó chúng ta dùng phương pháp đặt ẩn:

Ví dụ 1: Tìm ma trận $X$ thoả mãn \[X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7&7 \\ {13}&{18}&{17} \end{array}} \right).\]

Ma trận cần tìm có dạng \[X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right).\] Khi đó giả thiết tương đương với:

\[\begin{gathered} X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7&7 \\ {13}&{18}&{17} \end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7&7 \\ {13}&{18}&{17} \end{array}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2b}&{a + 3b}&{ - a + 4b} \\ {c + 2d}&{c + 3d}&{ - c + 4d} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7&7 \\ {13}&{18}&{17} \end{array}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2b = 5 \hfill \\ a + 3b = 7 \hfill \\ - a + 4b = 7 \hfill \\ c + 2d = 13 \hfill \\ c + 3d = 18 \hfill \\ - c + 4d = 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ c = 3 \hfill \\ d = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ 3&5 \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]

>>Xem thêm Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch

>>Cơ sở của không gian véctơ

>> Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số cho bởi tham số

>> Khai triển Taylor và ứng dụng

>> Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải

>>Giải phương trình ma trận khi không dùng được ma trận nghịch đảo

Ví dụ 2: Tìm ma trận $X$ thoả mãn $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 2}&{ - 5} \\ 1&2&5 \end{array}} \right).$

Ma trận cần tìm phải có dạng $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right).$ Khi đó giả thiết tương đương với:

$\begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1} \\ 2&3&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 2}&{ - 5} \\ 1&2&5 \end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2b}&{a + 3b}&{4b - a} \\ {c + 2d}&{c + 3d}&{4d - c} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 2}&{ - 5} \\ 1&2&5 \end{array}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2b = - 1 \hfill \\ a + 3b = - 2 \hfill \\ 4b - a = - 5 \hfill \\ c + 2d = 1 \hfill \\ c + 3d = 2 \hfill \\ 4d - c = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = - 1 \hfill \\ c = - 1 \hfill \\ d = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1} \\ { - 1}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \end{gathered} $

Ví dụ 3: Tìm tất cả các ma trận $X$ thoả mãn $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{11}\\ {11}&{25} \end{array}} \right)X = X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}&{14}\\ {14}&{10} \end{array}} \right).$

Ta có X là ma trận vuông cấp 2 và

\[\begin{array}{l} X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{11}\\ {11}&{25} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}&{14}\\ {14}&{10} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 11z}&{5y + 11t}\\ {11x + 25z}&{11y + 25t} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20x + 14y}&{14x + 10y}\\ {20z + 14t}&{14z + 10t} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x + 11z = 20x + 14y\\ 5y + 11t = 14x + 10y\\ 11x + 25z = 20z + 14t\\ 11y + 25t = 14z + 10t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = \frac{{15}}{{11}}x + \frac{{14}}{{11}}y\\ t = \frac{{14}}{{11}}x + \frac{5}{{11}}y \end{array} \right.. \end{array}\]

Vậy \[X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ {\frac{{15}}{{11}}x + \frac{{14}}{{11}}y}&{\frac{{14}}{{11}}x + \frac{5}{{11}}y} \end{array}} \right).\]

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right).$ Tìm mọi ma trận $X$ thoả mãn $AX=XA.$

Đặt $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right).$

Ta có $AX = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} z&t\\ 0&0 \end{array}} \right);XA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&x\\ 0&z \end{array}} \right).$

Vậy $AX = XA \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 0\\ x = t\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ 0&x \end{array}} \right).$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

  1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
  2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả