Đường trung tuyến $AM$ là đường thẳng đi qua $A$ và trung điểm $M$ của $BC.$
Câu 45. Trong không gian $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ cân tại $A\left( 2;-3;4 \right).$ Hai đỉnh $B,\text{ }C$ lần lượt nằm trên các mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2z-2=0,\text{ }\left( Q \right):x+2y+z+1=0$ và $M\left( 1;1;2 \right)$ là trung điểm $BC.$ Hỏi đường thẳng $BC$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. ${{M}_{4}}\left( 27;0;-13 \right).$ |
B. ${{M}_{1}}\left( 25;-2;-17 \right).$ |
C. ${{M}_{3}}\left( -27;0;13 \right).$ |
D. ${{M}_{2}}\left( -25;2;17 \right).$ |
Giải. Gọi $B\left( x;y;z \right)\in \left( P \right)\Rightarrow x-y+2z-2=0\text{ }\left( 1 \right).$
Vì $M\left( 1;1;2 \right)$ là trung điểm $BC\Rightarrow C\left( 2-x;2-y;4-z \right)\in \left( Q \right)$
$\Rightarrow 2-x+2\left( 2-y \right)+\left( 4-z \right)+1=0\text{ }\left( 2 \right).$
Mặt khác tam giác $ABC$ cân tại $A\left( 2;-3;4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AM}\left( -1;4;-2 \right)\bot \overrightarrow{MB}\left( x-1;y-1;z-2 \right)$
$\Leftrightarrow -\left( x-1 \right)+4\left( y-1 \right)-2\left( z-2 \right)=0\text{ }\left( 3 \right).$
Giải $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow x=\dfrac{55}{3},\text{ }y=\dfrac{1}{3},\text{ }z=-8\Rightarrow B=\left( \dfrac{55}{3};\dfrac{1}{3};-8 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\left( \dfrac{52}{3};-\dfrac{2}{3};-10 \right)=\dfrac{2}{3}(26;-1;-15)\Rightarrow BC:x=1+26t;y=1-t;z=2-15t$ đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( -25;2;17 \right).$ Chọn đáp án D.
Đường trung bình $MN||BC$ là đường thẳng qua trung điểm $M$ của $AB$ và trung điểm $N$ của $AC.$
Đường cao $AH$ là đường thẳng đi qua $A$ và véctơ chỉ phương được xác định bởi:
$AH\bot BC,AH\subset \left( ABC \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AH}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}} \right]=\left[ \overrightarrow{BC},\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right].$
+ Nếu $\Delta ABC$ nhọn thì $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF.$
Ngược lại, nếu tam giác $\Delta ABC$ tù chẳng hạn $\widehat{BAC}>{{90}^{0}}$ thì $H$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $D$ của $\Delta DEF.$
+ Nếu $A\in Ox,\text{ }B\in Oy,\text{ }C\in Oz\Rightarrow \left( ABC \right)\bot OH.$
Câu 48. Trong không gian $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( 1;1;1 \right),\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}} \right).$ Đường cao kẻ từ $B$ và đường cao kẻ từ $C$ của tam giác này tương ứng nằm trên các đường thẳng có phương trình $\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y+2}{-5}=\dfrac{z-1}{-2},\text{ }\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-a}{b}$ ($a,\text{ }b$ là các tham số thực). Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=3{{z}_{B}}.$ |
B. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=3{{x}_{B}}.$ |
C. ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=3{{y}_{B}}.$ |
D. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=3{{z}_{B}}.$ |
Giải. Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là mặt phẳng qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và chứa đường cao \[BH:\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y+2}{-5}=\dfrac{z-1}{-2}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AM}\left( 3;-3;0 \right),\overrightarrow{{{u}_{BH}}}\left( 4;-5;-2 \right) \right]=\left( 6;6;-3 \right),\text{ }M\left( 4;-2;1 \right)\in BH\]
\[\Rightarrow \left( ABC \right):2x+2y-z-3=0.\]
Ta có \[N\left( 0;2;a \right)\in CH\Rightarrow N\in \left( ABC \right)\Leftrightarrow 4-a-3=0\Leftrightarrow a=1\]
Và \[\overrightarrow{{{u}_{CH}}}\left( 2;-1;b \right)\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}\left( 2;2;-1 \right)\Leftrightarrow 4-2-b=0\Leftrightarrow b=2.\]
Gọi \[B\left( 4t+4;-5t-2;-2t+1 \right)\in BH\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( 4t+3;-5t-3;-2t \right)\bot \overrightarrow{{{u}_{CH}}}\left( 2;-1;2 \right)\]
\[\Leftrightarrow 2\left( 4t+3 \right)+5t+3-4t=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow B\left( 0;3;3 \right)\Rightarrow {{1}^{3}}+{{2}^{3}}=3.3.\] Chọn đáp án D.
Đường phân giác trong góc $A$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{AB}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{AC}.\overrightarrow{AC}.$
Đường phân giác ngoài góc $A$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{AB}.\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{AC}.\overrightarrow{AC}.$
Trong không gian $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ có $A\left( 1;2;2 \right),\text{ }B\left( 3;2;0 \right)$ và đường phân giác góc $B$ là $d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z}{-1}.$ Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $BC?$
A. ${{M}_{3}}\left( 2;3;0 \right).$ |
B. ${{M}_{2}}\left( 1;1;0 \right).$ |
C. ${{M}_{4}}\left( 1;0;0 \right).$ |
D. ${{M}_{1}}\left( 1;5;0 \right).$ |
Giải. Gọi $H=\text{h/c}\left( A,d \right);{A}'=\text{dx}\left( A,d \right)\Rightarrow {A}'\in BC$ và $H$ là trung điểm của $A{A}'.$
Ta có $H\left( 2t+3;-t+2;-t \right)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AH}\left( 2t+2;-t;-t-2 \right)\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;-1;-1 \right)$
$\Leftrightarrow 2\left( 2t+2 \right)+t+t+2=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H\left( 1;3;1 \right)\Rightarrow {A}'\left( 1;4;0 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{B{A}'}\left( -2;2;0 \right)||\left( -1;1;0 \right)\Rightarrow BC:x=3-t;y=2+t;z=0$ qua điểm ${{M}_{3}}\left( 2;3;0 \right).$ Chọn đáp án A.
Cách 2: Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\dfrac{1}{BA}\overrightarrow{BA}\pm \dfrac{1}{BC}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left( -2;0;2 \right)\pm \dfrac{1}{BC}\overrightarrow{BC}=m\left( 2;-1;-1 \right),\left( m\ne 0 \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{BC}\overrightarrow{BC}=\pm \left( 2m+\dfrac{1}{\sqrt{2}};-m;-m-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$
Mặt khác \[\left| \dfrac{1}{BC}\overrightarrow{BC} \right|=1\Rightarrow {{\left( 2m+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( -m \right)}^{2}}+{{\left( -m-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow m=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\]
\[\Rightarrow \dfrac{1}{BC}\overrightarrow{BC}=\left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}};\dfrac{1}{\sqrt{2}};0 \right)||\left( -1;1;0 \right)\Rightarrow BC:x=3-t;y=2+t;z=0\] qua điểm ${{M}_{3}}\left( 2;3;0 \right).$ Chọn đáp án A.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: