Giao điểm của mặt cầu và đường thẳng trong không gian toạ độ oxyz

• Đường thẳng đi qua một điểm, nằm trong một mặt phẳng và cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm này lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

>>Xem thêm: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

>>Xem thêm: Biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng song với đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9,$ điểm $M(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-4=0.$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $M,$ thuộc $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta $ có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;a;b).$ Tính $T=a-b.$

A. $T=0.$

B. $T=-1.$

C. $T=-2.$

D. $T=1.$

Lời giải:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O,$ bán kính $R=3.$ Và $d(O,(P))=\frac{4\sqrt{3}}{3},OM=\sqrt{6}.$

Gọi $H$là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $d.$

Ta có $AB=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{H}^{2}}}\ge 2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{M}^{2}}}=2\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}.$

Vì $OH\le OM=\sqrt{6}.$

Dấu bằng đạt tại $d$ qua $M$ vuông góc $OM.$ Vậy $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{OM},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=(-1;1;0)//(1;-1;0)\Rightarrow a=-1,b=0\Rightarrow S=-1-0=-1.$

Chọn đáp án B.

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9,$ điểm $M(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-4=0.$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $M,$ thuộc $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ lớn nhất. Biết rằng $\Delta $ có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;a;b).$ Tính $T=a-b.$

A. $T=3.$

B. $T=-1.$

C. $T=-2.$

D. $T=1.$

Lời giải:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O,$ bán kính $R=3.$ Và $d(O,(P))=\frac{4\sqrt{3}}{3},OM=\sqrt{6}.$

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $d,(P).$

Ta có $AB=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{H}^{2}}}\le 2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{K}^{2}}}=2\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{2\sqrt{33}}{3}.$ Vì $OH\ge OK=d(O,(P))=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Dấu bằng đạt tại $d$ qua $M,K.$

Toạ độ hình chiếu vuông góc $K$ của $O$ lên $(P)$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{align} & x+y+z-4=0 \\ & \frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-0}{1} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}\Rightarrow K\left( \frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3} \right).$ Do đó $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{MK}=\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3};-\frac{2}{3} \right)//(1;1;-2)\Rightarrow a=1,b=-2\Rightarrow T=1-(-2)=3.$

Chọn đáp án A.

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!