Hàm số mũ, logarit và luỹ thừa

A – HÀM SỐ MŨ

Hàm số $y={{a}^{x}}(0<a\ne 1)$ được gọi là hàm số mũ.

Tổng quát: $y={{a}^{u}}\Rightarrow {y}'={u}'{{a}^{u}}\ln a.$

Đặc biệt: $y={{e}^{x}}\Rightarrow {y}'={{e}^{x}};y={{e}^{u}}\Rightarrow {y}'={u}'{{e}^{u}}.$

Các dạng toán xoay quanh:

Hàm số $y={{\log }_{a}}x\text{ }(0<a\ne 1)$ được gọi là hàm số logarit.

Tổng quát: $y={{\log }_{a}}u$ có tập xác định là $D=\left\{ x\in \mathbb{R}|u>0 \right\}.$

Tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}.$

Đạo hàm của hàm số logarit:

$y={{\log }_{a}}x\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{x\ln a}.$
$y=\ln x\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{x}.$
$y={{\log }_{a}}u\Rightarrow {y}'=\dfrac{{{u}'}}{u\ln a}.$
$y=\ln u\Rightarrow {y}'=\dfrac{{{u}'}}{u}.$
$y=\ln \left| u \right|\Rightarrow {y}'=\dfrac{{{u}'}}{u}$ vì ${{\left( \ln \left| u \right| \right)}^{\prime }}={{\left( \dfrac{1}{2}\ln {{u}^{2}} \right)}^{\prime }}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2u.{u}'}{{{u}^{2}}}=\dfrac{{{u}'}}{u}.$
$y={{\log }_{a}}u\Rightarrow {{a}^{y}}={{a}^{{{\log }_{a}}u}}=u\Rightarrow {y}'.{{a}^{y}}\ln a={u}'.$
Nếu $0<a<1,$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty ).$
Nếu $a>1,$ hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty ).$
Đồ thị đi qua điểm $(1;0),$ nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
Đồ thị của hai hàm số $y={{\log }_{a}}x,y={{a}^{x}}$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x.$
Đồ thị của hai hàm số $y={{\log }_{a}}x,y={{\log }_{\dfrac{1}{a}}}x$ đối xứng với nhau qua trục hoành.
Đồ thị của hai hàm số $y={{a}^{x}},y={{\left( \dfrac{1}{a} \right)}^{x}}$ đối xứng với nhau qua trục tung.