Hàm số mũ, logarit và luỹ thừa


A – HÀM SỐ MŨ

Hàm số $y={{a}^{x}}(0<a\ne 1)$ được gọi là hàm số mũ.

  • Tập xác định $\mathbb{R}.$
  • Tập giá trị $(0;+\infty ).$
  • Đạo hàm ${y}'={{a}^{x}}\ln a.$

Tổng quát: $y={{a}^{u}}\Rightarrow {y}'={u}'{{a}^{u}}\ln a.$

Đặc biệt: $y={{e}^{x}}\Rightarrow {y}'={{e}^{x}};y={{e}^{u}}\Rightarrow {y}'={u}'{{e}^{u}}.$

  • Với $a>1,$ hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty ).$
  • Với $0<a<1,$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty ).$
  • Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;1).$
  • Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

Các dạng toán xoay quanh:

  • Tính đạo hàm của hàm số mũ
  • Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ
  • Nhận diện đồ thị hàm số mũ
  • Phương trình cơ bản liên quan đến mũ
  • Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ

B – HÀM SỐ LOGARIT

Hàm số $y={{\log }_{a}}x\text{ }(0<a\ne 1)$ được gọi là hàm số logarit.

  • Tập xác định của hàm số $(0;+\infty ).$

Tổng quát: $y={{\log }_{a}}u$ có tập xác định là $D=\left\{ x\in \mathbb{R}|u>0 \right\}.$

Tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}.$

Đạo hàm của hàm số logarit:

  • $y={{\log }_{a}}x\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{x\ln a}.$
  • $y=\ln x\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{x}.$
  • $y={{\log }_{a}}u\Rightarrow {y}'=\dfrac{{{u}'}}{u\ln a}.$
  • $y=\ln u\Rightarrow {y}'=\dfrac{{{u}'}}{u}.$
  • $y=\ln \left| u \right|\Rightarrow {y}'=\dfrac{{{u}'}}{u}$ vì ${{\left( \ln \left| u \right| \right)}^{\prime }}={{\left( \dfrac{1}{2}\ln {{u}^{2}} \right)}^{\prime }}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2u.{u}'}{{{u}^{2}}}=\dfrac{{{u}'}}{u}.$
  • $y={{\log }_{a}}u\Rightarrow {{a}^{y}}={{a}^{{{\log }_{a}}u}}=u\Rightarrow {y}'.{{a}^{y}}\ln a={u}'.$
  • Nếu $0<a<1,$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty ).$
  • Nếu $a>1,$ hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty ).$
  • Đồ thị đi qua điểm $(1;0),$ nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
  • Đồ thị của hai hàm số $y={{\log }_{a}}x,y={{a}^{x}}$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x.$
  • Đồ thị của hai hàm số $y={{\log }_{a}}x,y={{\log }_{\dfrac{1}{a}}}x$ đối xứng với nhau qua trục hoành.
  • Đồ thị của hai hàm số $y={{a}^{x}},y={{\left( \dfrac{1}{a} \right)}^{x}}$ đối xứng với nhau qua trục tung.

C - HÀM SỐ LUỸ THỪA

So sánh cơ số của hàm số mũ, logarit và số mũ của hàm số lũy thừa

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả