Bài viết này Vted trình bày các kiến thức về Hạng của một hệ véctơ cùng một số dạng bài tập liên quan hy vọng giúp ích các em trong quá trình tự học

Bạn đọc xem thêm các bài viết trước đó để đọc hiểu tốt hơn bài viết này:

>>Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Cơ sở của không gian véctơ

Hệ véctơ con của một hệ véctơ

Cho hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}\in {{\mathbb{R}}^{n}}.$ Lấy ra $k(1\le k\le m)$ véctơ từ hệ véctơ trên và kí hiệu là ${{X}_{i1}},{{X}_{i2}},...,{{X}_{ik}}.$ Hệ véctơ $\left\{ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},...,{{X}_{ik}} \right\}$ được gọi là một hệ véctơ con của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}.$

Ví dụ 1: Hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một hệ véctơ con của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} \right\}.$

Bài giảng: Hạng của một hệ véctơ

Hạng của một hệ véctơ

Giả sử $\left\{ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},...,{{X}_{ik}} \right\}$ là hệ véctơ con của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}.$

Khi đó hệ véctơ con $\left\{ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},...,{{X}_{ik}} \right\}$ được gọi là một cơ sở của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

i) Hệ véctơ con $\left\{ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},...,{{X}_{ik}} \right\}$ độc lập tuyến tính;

ii) Mọi véctơ ${{X}_{i}}(i=1,2,...,m)$ đều được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ con $\left\{ {{X}_{i1}},{{X}_{i2}},...,{{X}_{ik}} \right\}.$

Số véctơ của cơ sở của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ được gọi là hạng của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ và được kí hiệu là $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}.$

Nhận xét:

+ $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}=m$ khi và chỉ khi hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ độc lập tuyến tính.

+ $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}<m$ khi và chỉ khi hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ phụ thuộc tuyến tính.

>>Xem thêm Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải

Ví dụ 1: Cho hệ véctơ ${{X}_{1}}=(-1,2,3),{{X}_{2}}=(2,-1,-1),{{X}_{3}}=-2{{X}_{1}}+{{X}_{2}},{{X}_{4}}=3{{X}_{2}},{{X}_{5}}=2{{X}_{1}}-3{{X}_{2}}.$

Tìm một cơ sở và hạng của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} \right\}.$

Giải. Có $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}} \right\}$ độc lập tuyến tính vì hai véctơ không tỉ lệ và mọi véctơ ${{X}_{i}}(i=1,2,3,4,5)$ đều biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}} \right\}.$ Do đó $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}} \right\}$ là một cơ sở của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} \right\}.$ Vì vậy $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} \right\}=2.$

Ví dụ 2: Cho hệ véctơ ${{X}_{1}}=(1,1,0),{{X}_{2}}=(1,2,1),{{X}_{3}}=(5,7,2),{{X}_{4}}=(-2,-1,1).$ Chứng minh rằng hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}} \right\}$ là một cơ sở của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}.$

Giải. Có $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}} \right\}$ độc lập tuyến tính và ${{X}_{1}},{{X}_{2}}$ không tỉ lệ và ${{X}_{3}}=3{{X}_{1}}+2{{X}_{2}},{{X}_{4}}=-3{{X}_{1}}+{{X}_{2}}.$

Do đó ${{X}_{i}}(i=1,2,3,4)$ biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}} \right\}.$ Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Cho hệ gồm bốn véctơ ${{X}_{1}}=(1,1,1,1),{{X}_{2}}=(2,0,-1,3),{{X}_{3}}=(3,-1,-2,0),{{X}_{4}}=(5,-1,-2,-2).$ Chứng minh rằng hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}.$

Giải. Ta cần chứng minh $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} \right\}$ độc lập tuyến tính (bạn đọc tự chứng minh) và ${{X}_{4}}$ được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} \right\}.$ Thật vậy có ${{X}_{4}}={{X}_{1}}-{{X}_{2}}+2{{X}_{3}}.$ Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4: Cho hai véctơ $X,Y$ không tỉ lệ. Tìm hạng của hệ gồm 5 véctơ ${{X}_{1}}=2X-Y,{{X}_{2}}=X+Y,{{X}_{3}}=3X+2Y,{{X}_{4}}=5X+4Y,{{X}_{5}}=-4X+7Y.$

Giải. Có ${{X}_{i}}(i=1,2,3,4,5)$ biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ X,Y \right\}$ và hệ véctơ $\left\{ X,Y \right\}$ độc lập tuyến tính do hai véctơ $X,Y$ không tỉ lệ. Vậy hệ véctơ $\left\{ X,Y \right\}$ là một cơ sở của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} \right\}.$ Do đó $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} \right\}=2.$

Ví dụ 5: Cho hai véctơ $X,Y\in {{\mathbb{R}}^{n}}$ bất kì. Gọi ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}}$ là các tổ hợp tuyến tính của hai véctơ $X,Y.$ Chứng minh rằng $r\left\{ X+Y,X-Y,{{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}=r\left\{ X,Y \right\}.$

Giải. Đặt ${{X}_{m+1}}=X+Y;{{X}_{m+2}}=X-Y$ khi đó ${{X}_{i}}(i=1,2,...,m+2)$ biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ X,Y \right\}.$ Nếu $\left\{ X,Y \right\}$ độc lập tuyến tính thì $\left\{ X,Y \right\}$ là một cơ sở của $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m+2}} \right\},$ do đó $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m+2}} \right\}=r\left\{ X,Y \right\}=2.$ Ngược lại nếu $\left\{ X,Y \right\}$ phụ thuộc tuyến tính khi đó hoặc $X$ hoặc $Y$ là một cơ sở của $\left\{ X,Y \right\}$ đồng thời cũng là một cơ sở của $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m+2}} \right\},$ khi đó $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m+2}} \right\}=r\left\{ X,Y \right\}=1.$

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có $r\left\{ X+Y,X-Y,{{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}=r\left\{ X,Y \right\}.$

Các định lí về hạng của hệ véctơ

• Hạng của một hệ véctơ bằng r khi và chỉ khi trong hệ véctơ đó tồn tại một hệ con gồm r véctơ độc lập tuyến tính và mọi hệ véctơ con có số véctơ lớn hơn r (nếu có) đều phụ thuộc tuyến tính.
• Cho hai hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\};\left\{ {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},...,{{Y}_{k}} \right\}.$ Nếu mọi véctơ ${{X}_{i}}(i=1,2,...,m)$ đều được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},...,{{Y}_{k}} \right\}$ thì $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}\le r\left\{ {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},...,{{Y}_{k}} \right\}.$
• Khi thêm vào một hệ véctơ một véctơ được biểu diễn tuyến tính qua các véctơ trong hệ thì hạng của hệ véctơ không đổi.

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Khảo sát hạng của hệ véctơ bằng hạng ma trận

Để tìm hạng của một hệ véctơ ta lập ma trận nhận các véctơ của hệ làm véctơ cột hoặc véctơ dòng. Hạng của hệ véctơ bằng hạng của ma trận.

Ví dụ 1: Tìm hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} \right\}$ với ${{X}_{1}}=(2,1,0,4),{{X}_{2}}=(-4,-2,1,-7),{{X}_{3}}=(3,1,-1,4),{{X}_{4}}=(1,-4,3,-4),{{X}_{5}}=(0,2,1,5).$

Giải. Lập ma trận A nhận các véctơ đã cho làm hệ véctơ cột:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 4}&3&1&0 \\ 1&{ - 2}&1&{ - 4}&2 \\ 0&1&{ - 1}&3&1 \\ 4&{ - 7}&4&{ - 4}&5 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&2&5&{ - 2} \\ 1&{ - 2}&1&{ - 4}&2 \\ 0&1&{ - 1}&3&1 \\ 4&{ - 7}&4&{ - 4}&5 \end{array}} \right)$

$\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - 4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&2&5&{ - 2} \\ 0&0&{ - 1}&{ - 9}&4 \\ 0&1&{ - 1}&3&1 \\ 0&1&{ - 4}&{ - 24}&{13} \end{array}} \right)$

$\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&2&5&{ - 2} \\ 0&1&{ - 1}&3&1 \\ 0&0&{ - 1}&{ - 9}&4 \\ 0&1&{ - 4}&{ - 24}&{13} \end{array}} \right)$

$\xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&2&5&{ - 2} \\ 0&1&{ - 1}&3&1 \\ 0&0&{ - 1}&{ - 9}&4 \\ 0&0&{ - 3}&{ - 27}&{12} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&2&5&{ - 2} \\ 0&1&{ - 1}&3&1 \\ 0&0&{ - 1}&{ - 9}&4 \\ 0&0&0&0&0 \end{array}} \right).$

Vậy $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}} \right\}=r(A)=3$ và $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của hệ véctơ đã cho.

Ví dụ 2: Tìm hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}},{{X}_{6}} \right\}$ với

$\left\{ \begin{gathered} {X_1} = (3,1,1,2,0) \hfill \\ {X_2} = (2,4,4,11,13) \hfill \\ {X_3} = (5,2,2,4,1) \hfill \\ {X_4} = (7, - 9, - 9,3, - 13) \hfill \\ {X_5} = (9,1,8,3,2) \hfill \\ {X_6} = (1,0,1,2,2) \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Giải. Lập ma trận A nhận các véctơ đã cho làm hệ véctơ cột:

\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&5&7&9&1 \\ 1&4&2&{ - 9}&1&0 \\ 1&4&2&{ - 9}&8&1 \\ 2&{11}&4&3&3&2 \\ 0&{13}&1&{ - 13}&2&2 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 9}&1&4&6&{ - 1} \\ 1&4&2&{ - 9}&1&0 \\ 1&4&2&{ - 9}&8&1 \\ 2&{11}&4&3&3&2 \\ 0&{13}&1&{ - 13}&2&2 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 9}&1&4&6&{ - 1} \\ 0&{13}&1&{ - 13}&{ - 5}&1 \\ 0&{13}&1&{ - 13}&2&2 \\ 0&{29}&2&{ - 5}&{ - 9}&4 \\ 0&{13}&1&{ - 13}&2&2 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}\frac{{{\mathbf{29}}}}{{{\mathbf{13}}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 9}&1&4&6&{ - 1} \\ 0&{13}&1&{ - 13}&{ - 5}&1 \\ 0&0&0&0&7&1 \\ 0&0&{ - \frac{3}{{13}}}&{24}&{\frac{{28}}{{13}}}&{\frac{{23}}{{13}}} \\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]

Do đó $r\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}},{{X}_{5}},{{X}_{6}} \right\}=r(A)=4$ và $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{5}} \right\}$ là một cơ sở của hệ véctơ đã cho.

Ví dụ 3: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&{ - 1}&3 \\ m&1&{ - 3}&1 \\ { - 2}&1&2&3 \\ { - 3}&4&1&2 \end{array}} \right).$ Tìm $m$ để hệ véctơ cột $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} \right\}$ của ma trận $A$ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó chỉ ra hạng và một cơ sở và hệ véctơ đó.

Giải. Ta có $\det (A)=6(5m-19).$

Hệ véctơ $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} \right\}$ phụ thuộc tuyến tính $r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} \right\}<4\Leftrightarrow \det (A)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{19}{5}.$

Khi đó $D_{123}^{234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&3 \\ 1&{ - 3}&1 \\ 1&2&3 \end{array}} \right| = 6 \ne 0 \Rightarrow r\left\{ {A_1^c,A_2^c,A_3^c,A_4^c} \right\} = 3$ và $\left\{ A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} \right\}$ là một cơ sở của hệ véctơ $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c},A_{4}^{c} \right\}.$

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1 \\ 2&1&0 \\ 1&0&{ - 4} \end{array}} \right).$ Chứng minh rằng hệ véctơ cột của ma trận $A$ là một cơ sở của không gian véctơ ${{\mathbb{R}}^{3}},$ từ đó tìm toạ độ của véctơ $X=\left( 6,2,-3 \right)$ đối với cơ sở này.

Giải. Có $\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1 \\ 2&1&0 \\ 1&0&{ - 4} \end{array}} \right| = 19 \ne 0 \Rightarrow r\left\{ {A_1^c,A_2^c,A_3^c} \right\} = r(A) = 3 \Rightarrow \left\{ {A_1^c,A_2^c,A_3^c} \right\}$ độc lập tuyến tính do đó $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c} \right\}$ là một cơ sở của không gian véctơ ${{\mathbb{R}}^{3}}.$

Ta có $X = xA_1^c + yA_2^c + zA_2^c \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - x + 2y + z = 6 \hfill \\ 2x + y = 2 \hfill \\ x - 4z = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \dfrac{5}{{19}} \hfill \\ y = \dfrac{{48}}{{19}} \hfill \\ z = \dfrac{{13}}{{19}} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Do đó toạ độ của véctơ $X=\left( 6,2,-3 \right)$ đối với cơ sở $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},A_{3}^{c} \right\}$ là \[\left( -\dfrac{5}{19},\dfrac{48}{19},\dfrac{13}{19} \right).\]

Ví dụ 5: Cho hệ véctơ ${{X}_{1}}=\left( 3,-2,k,-1 \right);{{X}_{2}}=\left( -4,1,2,k \right);{{X}_{3}}=\left( 4,-1,-3,-2 \right).$

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $k$ thì không có véctơ nào trong hệ véctơ đã cho biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại của hệ.

b) Gọi $D$ là ma trận nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}}$ lần lượt là các véctơ dòng. Hãy giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng $D$ theo quy tắc Cramer.

c) Biết rằng ${{X}_{4}}=2017{{X}_{1}}+2018{{X}_{2}}+2019{{X}_{3}}.$ Tính định thức của ma trận lần lượt nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ là các véctơ dòng.

Giải. a) Xét ma trận nhận các véctơ đã cho là các véctơ dòng \[D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&k&{ - 1} \\ { - 4}&1&2&k \\ 4&{ - 1}&{ - 3}&{ - 2} \end{array}} \right).\]

Ta có \[D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&k \\ { - 4}&1&2 \\ 4&{ - 1}&{ - 3} \end{array}} \right| = 5 \ne 0,\forall k \in \mathbb{R} \Rightarrow r\left\{ {{X_1},{X_2},{X_3}} \right\} = r\left\{ D \right\} = 3.\] Vì vậy \[\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}} \right\}\] độc lập tuyến tính hay không có bất kì véctơ nào trong hệ biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại của hệ.

b) Hệ tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng \[D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&k&{ - 1} \\ { - 4}&1&2&k \\ 4&{ - 1}&{ - 3}&{ - 2} \end{array}} \right).\] Theo quy tắc Cramer nghiệm của hệ được xác định bởi \[x = \dfrac{{{d_x}}}{d} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 2}&k \\ k&1&2 \\ { - 2}&{ - 1}&{ - 3} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&k \\ { - 4}&1&2 \\ 4&{ - 1}&{ - 3} \end{array}} \right|}} = \dfrac{{ - {k^2} - 4k + 9}}{5}\] và

\[y = \dfrac{{{d_y}}}{d} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&k \\ { - 4}&k&2 \\ 4&{ - 2}&{ - 3} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&k \\ { - 4}&1&2 \\ 4&{ - 1}&{ - 3} \end{array}} \right|}} = \dfrac{{ - 4{k^2} - k + 16}}{5};z = \dfrac{{{d_z}}}{d} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&{ - 1} \\ { - 4}&1&k \\ 4&{ - 1}&{ - 2} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&k \\ { - 4}&1&2 \\ 4&{ - 1}&{ - 3} \end{array}} \right|}} = 2 - k.\]

c) Định thức cần tính dạng \[\left| \begin{gathered} {X_1} \hfill \\ {X_2} \hfill \\ {X_3} \hfill \\ 2017{X_1} + 2018{X_2} + 2019{X_3} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \left| \begin{gathered} {X_1} \hfill \\ {X_2} \hfill \\ {X_3} \hfill \\ {O_4} \hfill \\ \end{gathered} \right|\left( {{\mathbf{ - 2017}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ - 2018}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ - 2019}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}} \right) = 0.\]

trong đó dòng cuối của định thức toàn số 0 nên định thức bằng 0.