Hệ phương trình Cramer lý thuyết và phương pháp giải

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài 4: Mô hình Input - Output của Leontief

Bài 5: Mô hình cân bằng thị trường và cân bằng kinh tế vĩ mô

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 9\\ - 2{x_1} + {x_2} - 5{x_3} = - 24\\ 3{x_1} - 2{x_2} + {x_3} = 11 \end{array} \right.$ bằng các phương pháp Gauss (khử ẩn liên tiếp); quy tắc Cramer; phương pháp ma trận.

Phương pháp Gauss

Xét $\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&9 \\ { - 2}&1&{ - 5}&{ - 24} \\ 3&{ - 2}&1&{11} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&9 \\ 0&5&1&{ - 6} \\ 0&{ - 8}&{ - 8}&{ - 16} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{8}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + 5}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&9 \\ 0&5&1&{ - 6} \\ 0&0&{ - 32}&{ - 128} \end{array}} \right).$

Vậy $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 9 \hfill \\ 5{x_2} + {x_3} = - 6 \hfill \\ - 32{x_3} = - 128 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = 1 \hfill \\ {x_2} = - 2 \hfill \\ {x_3} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Phương pháp ma trận

Nghiệm của hệ là \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { - 2}&1&{ - 5}\\ 3&{ - 2}&1 \end{array}} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 24}\\ {11} \end{array}} \right) = \dfrac{1}{{32}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9&8&{13}\\ {13}&8&1\\ { - 1}&{ - 8}&{ - 5} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 24}\\ {11} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 2}\\ 4 \end{array}} \right).\]

Phương pháp Cramer

${x_1} = \frac{{{d_1}}}{d} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 9&2&3\\ { - 24}&1&{ - 5}\\ {11}&{ - 2}&1 \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { - 2}&1&{ - 5}\\ 3&{ - 2}&1 \end{array}} \right|}} = 1;{x_2} = \dfrac{{{d_2}}}{d} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&9&3\\ { - 2}&{ - 24}&{ - 5}\\ 3&{11}&1 \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { - 2}&1&{ - 5}\\ 3&{ - 2}&1 \end{array}} \right|}} = - 2;{x_3} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&9\\ { - 2}&1&{ - 24}\\ 3&{ - 2}&{11} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { - 2}&1&{ - 5}\\ 3&{ - 2}&1 \end{array}} \right|}} = 4.$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.