Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính


Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát có dạng $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_1} = {b_1} \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = {b_2} \hfill \\ ... \hfill \\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + ... + {a_{mn}}{x_n} = {b_m} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Với \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right),X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}} \\ {{b_2}} \\ {...} \\ {{b_m}} \end{array}} \right),\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{{b_1}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{{b_2}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}&{{b_m}} \end{array}} \right).\]

Ta gọi là hệ phương trình tuyến tính gồm $m$ phương trình và $n$ ẩn.

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX=B.$

Đặt $A_j^c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1j}}} \\ {{a_{2j}}} \\ {...} \\ {{a_{mj}}} \end{array}} \right),j = 1,2,...,n$ là véctơ cột thứ j của ma trận hệ số A. Khi đó hệ phương trình

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ

${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+...+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=B.$ Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi véctơ $B$ biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ cột $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}$ của ma trận $A.$ Hệ có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu cách biểu diễn tuyến tính véctơ $B$ qua hệ véctơ cột của ma trận $A.$

Do mọi định thức con của $A$ đều là định thức con của $\overline{A}$ do đó $0\le r(A)\le r(\overline{A})\le \min \left\{ m,n+1 \right\}.$

>>Xem thêm Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính tổng quát có nghiệm

Định lí Kronecker – Capelli

Cho hệ phương trình tuyến tính $n$ ẩn $AX=B.$ Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là $r(A)=r(\overline{A}).$

Chứng minh.

Ta có $r(A)=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\},r(\overline{A})=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}.$

Điều kiện cần: Nếu hệ có nghiệm thì véctơ B được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}.$

Do đó \[r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}\Rightarrow r(\overline{A})=r(A).\]

Điều kiện đủ: Nếu $r(A)=r(\overline{A})\Rightarrow r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}.$

Ta có điều phải chứng minh.

Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương trình tuyến tính có $n$ ẩn, các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng lần lượt là $A,\overline{A}.$ Khi đó:

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_4} = 7 \hfill \\ 2{x_1} + 5{x_2} + {x_3} + 5{x_4} = 16 \hfill \\ 3{x_1} + 7{x_2} + {x_3} + 8{x_4} = 23 \hfill \\ 5{x_1} + 12{x_2} + 2{x_3} + 13{x_4} = m \hfill \\ 6{x_1} + 14{x_2} + 3{x_3} + 16{x_4} = 46 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng:

$\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 2&5&1&5&{16} \\ 3&7&1&8&{23} \\ 5&{12}&2&{13}&m \\ 6&{14}&3&{16}&{46} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{gathered} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 5}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 6}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \hfill \\ \end{gathered} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&2&2&{ - 2}&{m - 35} \\ 0&2&3&{ - 2}&4 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&{m - 39} \\ 0&0&1&0&0 \end{array}} \right).$

+ Nếu $m-39=0\Leftrightarrow m=39\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2<4$ hệ có vô số nghiệm và hệ khi đó tương đương với $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_4} = 7 \hfill \\ {x_2} + {x_3} - {x_4} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = 2{x_3} - 5{x_4} + 3 \hfill \\ {x_2} = - {x_3} + {x_4} + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Nghiệm của hệ là $\left( 2{{x}_{3}}-5{{x}_{4}}+3;-{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+2;{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right),\left( {{x}_{3}},{{x}_{4}}\in \mathbb{R} \right).$

+ Nếu \[m-39\ne 0\Leftrightarrow m\ne 39\Rightarrow r(A)=2<r(\overline{A})=3\] hệ vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} 2{x_1} - 2{x_2} + {x_3} - {x_4} + {x_5} = 1 \hfill \\ {x_1} + 2{x_2} - {x_3} + {x_4} - 2{x_5} = 1 \hfill \\ 4{x_1} - 10{x_2} + 5{x_3} - 5{x_4} + 7{x_5} = 1 \hfill \\ 2{x_1} - 14{x_2} + 7{x_3} - 7{x_4} + 11{x_5} = m \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng:

$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 2}&1&{ - 1}&1&1 \\ 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 4&{ - 10}&5&{ - 5}&7&1 \\ 2&{ - 14}&7&{ - 7}&{11}&m \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 2&{ - 2}&1&{ - 1}&1&1 \\ 4&{ - 10}&5&{ - 5}&7&1 \\ 2&{ - 14}&7&{ - 7}&{11}&m \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - 4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 0&{ - 6}&3&{ - 3}&5&{ - 1} \\ 0&{ - 18}&9&{ - 9}&{15}&{ - 3} \\ 0&{ - 18}&9&{ - 9}&{15}&{m - 2} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 0&{ - 6}&3&{ - 3}&5&{ - 1} \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&{m + 1} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

+ Nếu $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1\Rightarrow r(A)=2<r(\overline{A})=3$ hệ vô nghiệm.

+ Nếu \[m+1=0\Leftrightarrow m=-1\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2\] hệ vô số nghiệm và khi đó hệ tương đương với $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} - {x_3} + {x_4} - 2{x_5} = 1 \hfill \\ - 6{x_2} + 3{x_3} - 3{x_4} + 5{x_5} = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = \frac{2}{3} - 2{x_4} + \frac{1}{3}{x_5} \hfill \\ {x_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2}{x_3} - \frac{1}{2}{x_4} + \frac{5}{6}{x_5} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Nghiệm của hệ là $\left( {{x}_{1}}=\frac{2}{3}-2{{x}_{4}}+\frac{1}{3}{{x}_{5}};\frac{1}{6}+\frac{1}{2}{{x}_{3}}-\frac{1}{2}{{x}_{4}}+\frac{5}{6}{{x}_{5}};{{x}_{3}};{{x}_{4}};{{x}_{5}} \right),\left( {{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}}\in \mathbb{R} \right).$

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} (2 - a){x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1} + (2 - a){x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1} + {x_2} + (2 - a){x_3} = 0 \end{array} \right..$

a) Tìm $a$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất;

b) Tìm $a$ để hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số;

c) Tìm $a$ để hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số.

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng:

$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - a}&1&1&0 \\ 1&{2 - a}&1&0 \\ 1&1&{2 - a}&0 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 1&{2 - a}&1&0 \\ {2 - a}&1&1&0 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{(a - 2)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&0 \\ 0&{a - 1}&{(1 - a)(a - 3)}&0 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&0 \\ 0&0&{(1 - a)(a - 4)}&0 \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

a) Hệ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - a \ne 0 \hfill \\ (1 - a)(4 - a) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 1 \hfill \\ a \ne 4 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

b) Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số $\Leftrightarrow r(A)=r(\overline{A})=2\Leftrightarrow a=4.$

c) Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số $\Leftrightarrow r(A)=r(\overline{A})=1\Leftrightarrow a=1.$

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} kx + y + z = 1\\ x + ky + z = k\\ x + y + kz = {k^2} \end{array} \right..$

a) Tìm $k$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất;

b) Tìm $k$ để hệ phương trình vô nghiệm;

c) Tìm $k$ để hệ phương trình vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số.

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng:

$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} k&1&1&1 \\ 1&k&1&k \\ 1&1&k&{{k^2}} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 1&k&1&k \\ k&1&1&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - k}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 0&{k - 1}&{1 - k}&{k - {k^2}} \\ 0&{1 - k}&{1 - {k^2}}&{1 - {k^3}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 0&{k - 1}&{1 - k}&{k - {k^2}} \\ 0&0&{(1 - k)(2 + k)}&{(1 - k){{(k + 1)}^2}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

Hệ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k - 1 \ne 0 \hfill \\ (1 - k)(2 + k) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k \ne 1 \hfill \\ k \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow r(A)<r(\overline{A})\Leftrightarrow k=-2.$

Hệ vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k - 1 = 0 \hfill \\ (1 - k)(2 + k) = 0 \hfill \\ (1 - k){(k + 1)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow k = 1.$

Ví dụ 5: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x + 2y + mz = a \hfill \\ 2x - 7y + \left( {m - 1} \right)z = 1 \hfill \\ - 4x + y - mz = b \hfill \\ \end{gathered} \right.$ theo các tham số $a,b$ và $m.$

Giải. Biến đổi sơ cấp cho ma trận hệ số mở rộng

$\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 2&{ - 7}&{m - 1}&1 \\ { - 4}&1&{ - m}&b \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 0&{ - 11}&{ - m - 1}&{ - 2a + 1} \\ 0&9&{3m}&{4a + b} \end{array}} \right)$

$\xrightarrow{{\dfrac{{\mathbf{9}}}{{{\mathbf{11}}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 0&{ - 11}&{ - m - 1}&{ - 2a + 1} \\ 0&0&{\dfrac{3}{{11}}\left( {8m - 3} \right)}&{\dfrac{1}{{11}}\left( {26a + 11b + 9} \right)} \end{array}} \right)$

+ Nếu $m\ne \dfrac{3}{8}\Rightarrow r\left( A \right)=r\left( \overline{A} \right)=3$ nên hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi

$x=\dfrac{-6am-9bm-a+2b-3m}{3\left( 8m-3 \right)};y=\dfrac{2am-bm-4a-b-3m}{3\left( 8m-3 \right)};z=\dfrac{36a+11b+9}{3\left( 8m-3 \right)}$

+ Nếu $m=\dfrac{3}{8}$ và $26a+11b+9\ne 0\Rightarrow r\left( A \right)=2<r\left( \overline{A} \right)=3$ nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu $m=\dfrac{3}{8}$ và $26a+11b+9=0\Rightarrow r\left( A \right)=r\left( \overline{A} \right)=2<3$ hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số

Cụ thể $\left\{ \begin{gathered} x + 2y + \dfrac{3}{8}z = a \hfill \\ - 11y - \dfrac{{11}}{8}z = - 2a + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \dfrac{5}{{11}}a - \dfrac{3}{{11}} + x \hfill \\ z = \dfrac{{56}}{{11}}a + \dfrac{{16}}{{11}} - 8x \hfill \\ \end{gathered} \right.,x \in \mathbb{R}.$

Ví dụ 6: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x - y + az + t = a \hfill \\ x + ay - z + t = - 1 \hfill \\ ax + ay - z - t = - 1 \hfill \\ x + y + z + t = - a \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng:

\[\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 1&a&{ - 1}&1&{ - 1} \\ a&a&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1} \\ 1&1&1&1&{ - a} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - a}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&{a + 1}&{ - a - 1}&0&{ - a - 1} \\ 0&{2a}&{ - {a^2} - 1}&{ - a - 1}&{ - {a^2} - 1} \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&{2a}&{ - {a^2} - 1}&{ - a - 1}&{ - {a^2} - 1} \\ 0&{a + 1}&{ - a - 1}&0&{ - a - 1} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - a}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - (a + 1)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&0&{ - a - 1}&{ - a - 1}&{{a^2} - 1} \\ 0&0&{{a^2} - 2a - 3}&0&{2{a^2} - 2} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{(}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{ - 2a - 3)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + (a + 1)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&0&{ - a - 1}&{ - a - 1}&{{a^2} - 1} \\ 0&0&0&{(3 - a){{(a + 1)}^2}}&{{{({a^2} - 1)}^2}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]

+ Nếu $a=-1\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2<4$ hệ vô số nghiệm và hệ khi đó tương đương với \[\left\{ \begin{gathered} x - y + az + t = a \hfill \\ 2y + (1 - a)z = - 2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{3a - 1}}{2}z - t \hfill \\ y = - a + \frac{{a - 1}}{2}z \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

+ Nếu $a=3\Rightarrow r(A)=3<r(\overline{A})=4$ hệ vô nghiệm.

+ Nếu $a\notin \left\{ -1,3 \right\}\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=4$ hệ có nghiệm duy nhất và khi đó hệ tương đương với

\[\left\{ \begin{gathered} x - y + az + t = a \hfill \\ 2y + (1 - a)z = - 2a \hfill \\ - (a + 1)z - (a + 1)t = {a^2} - 1 \hfill \\ (3 - a){(a + 1)^2}t = {({a^2} - 1)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{2a - 2}}{{3 - a}} \hfill \\ y = - \frac{{a + 1}}{{3 - a}} \hfill \\ z = \frac{{2 - 2a}}{{3 - a}} \hfill \\ t = \frac{{{{(a - 1)}^2}}}{{3 - a}} \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả