Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là số nguyên dương)

Ví dụ 1: Một nhóm gồm bốn bạn A, B, C, D được xếp thành một hàng ngang, trừ trái qua phải, để tham qua một cuộc phỏng vấn

Mỗi cách sắp xếp thứ tự của bốn bạn này trong hàng ngang là một hoán vị của tập hợp gồm bốn bạn này.

Số hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là ${{P}_{n}}$ được tính bằng công thức ${{P}_{n}}=n!=n.\left( n-1 \right).\left( n-2 \right)...2.1.$

Quy ước 0! =1.

Chỉnh hợp

Tổ hợp

>Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và Sơ đồ hình cây

Ví dụ 25: Một con thỏ di chuyển từ địa điểm A đến địa điểm B bằng cách di chuyển trên cạnh qua các điểm nút (trong lưới cho ở hình vẽ) và chỉ di chuyển sang phải hoặc đi lên (mỗi cách di chuyển như vậy xem là 1 cách đi). Biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì bị cáo ăn thịt. Có bao nhiêu cách di chuyển từ A đến B để thỏ không bị cáo ăn thịt?

Giải phương trình, bất phương trình liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Hoán vị tròn

Hoán vị lặp

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà tích các chữ số của nó bằng 1400?

Giải. Phân tích ra thừa số nguyên tố ta được $1400={{2}^{3}}{{.5}^{2}}.7$

Vậy số cần tìm sẽ gồm 2 chữ số 5; 1 chữ số 7 và $x,y,z,t\text{ }\left( x,y,z,t\in \mathbb{N} \right)$ chữ số 1, 2, 4, 8

Ta có $2+1+x+y+z+t=6;y+2z+3t=3$

$\Rightarrow \left( x;y;z;t \right)\in \left\{ \left( 0;3;0;0 \right);\left( 1;1;1;0 \right);\left( 2;0;0;1 \right) \right\}\Rightarrow C_{6}^{2}C_{4}^{3}+C_{6}^{2}4!+C_{6}^{2}C_{4}^{2}2!=600$ số.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số mà tích các chữ số của nó bằng 1800?

Giải. Phân tích ra thừa số nguyên tố ta được $1800={{2}^{3}}{{.3}^{2}}{{.5}^{2}}$

Vậy số cần tìm gồm 2 chữ số 5 và lần lượt $x,y,z,t,u,v,s\text{ }\left( x,y,z,t,u,v,s\in \mathbb{N} \right)$ chữ số 1, 2, 4, 8, 3, 9, 6.

Ta có $2+x+y+z+t+u+v+s=7;y+2z+3t+s=3;u+2v+s=2$

Liệt kê được tất cả 9 bộ số $\left( x;y;z;t;u;v;s \right)$ là $\left( 1;3;0;0;0;1;0 \right);\left( 2;1;1;0;0;1;0 \right);\left( 0;3;0;0;2;0;0 \right);\left( 1;1;1;0;2;0;0 \right);$

$\left( 3;0;0;1;0;1;0 \right);\left( 2;0;0;1;2;0;0 \right);\left( 1;2;0;0;1;0;1 \right);\left( 2;0;1;0;1;0;1 \right);\left( 2;1;0;0;0;0;2 \right).$

$\Rightarrow C_{7}^{2}C_{5}^{3}2!+C_{7}^{2}C_{5}^{2}3!+C_{7}^{2}C_{5}^{3}C_{2}^{2}+C_{7}^{2}C_{5}^{2}3!+C_{7}^{2}C_{5}^{3}2!+C_{7}^{2}C_{5}^{2}C_{3}^{2}+C_{7}^{2}C_{5}^{2}3!+C_{7}^{2}C_{5}^{2}3!+C_{7}^{2}C_{5}^{2}C_{3}^{2}=7350$ số. Chọn đáp án C.

*Bài toán có quá nhiều trường hợp các em tham khảo cách làm thui nhé.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm