IMO 2024 (OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ 2024)

ĐỀ THI NGÀY 1 (16/7/2024)(Xem ảnh dưới đây)

Bài 1. Xác định tât cii caic só thực $\alpha$ sao cho vơi moì số nguyên dương $n$ thî só nguyên

$\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor 2 \alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n \alpha\rfloor$
là một bội cưn $n$. (Trang đó, $\lfloor z\rfloor$ ký hiệu số niguyên lân nhát không vượ quỉ $z$. Vi dỵ, $\lfloor-\pi\rfloor=-4$ và $\lfloor 2\rfloor=\lfloor 2,9\rfloor=2$.)
Bà 2. Xác định tât câ các cĭp só nguyēn dươg $(a, b)$ sao cho tồn tai cíc oố nguyên dương $g$ và $N$ thỏa män
$$
\operatorname{gcd}\left(a^n+b, b^n+a\right)=g
$$
vơi mọi số nguyên $n \geqslant N$. (Trong đô, $\operatorname{god}(x, y)$ ký hiệu ươc chung lợ nhát cuia các số nguyên $x$ và y.)

Bâi 3. Cho dãy vồ hăn các sô uguyền dươgg $a_1, a_2, a_3, \ldots$ vồ số nguyên dương $N$. Giả sử räng vởi mọi $n>N, a_n$ bâng sô lản xuát hiện cuas $a_{n-1}$ trong dày $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$.
Chứng minh raing một trong hai dîy số $a_1, a_3, a_0, \ldots$ vì $a_2, a_4, a_6, \ldots$ lả tuìn hoàn ké từ một chî số nìo đô.
(Một dãy số vô hạn $b_1, b_2, b_3, \ldots$. Ià tuản hod̀n ké từ một chí số nào đó néu tôn tại caic sô nguyền dưong $p$ val $M$ seo cho $b_{m+p}=b_m$ vái mol $m \geqslant M$.)

ĐỀ THI NGÀY THỨ HAI (17/7/2024)

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ với $A B<A C<B C$. Gọi $I$ và $\omega$ tương ứng là tâm nội tié́p và đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$. Gọi $X$ là điểm nàm trên đường thẳng $B C$, khác $C$, sao cho đường thả̉ng qua $X$ và song song với $A C$ tiếp xúc với $\omega$. Tương tự, gọi $Y$ là điểm nằm trên đường thẳng $B C$, khác $B$, sao cho đường thẳng qua $Y$ và song song với $A B$ tiép xúc với $\omega$. Đường thẳng $A I$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ tại $P \neq A$. Gọi $K$ và $L$ tương úng là trung điểm của $A C$ và $A B$.
Chứng minh rằng $\angle K I L+\angle Y P X=180^{\circ}$.
Bài 5. Óc sên Turbo chơi trò chơi sau trên một bảng ô vuông gồm 2024 hàng và 2023 cột. Trong 2022 ô vuông đơn vị nào đó, có các con quỷ náp ở đó. Ban đâu, Turbo không hề biêt ô nào có quỷ nấp, nhưng nó biết rằng trên mổi hàng có đúng một con quỷ, ngoại trừ hàng đằu tiên và̀ hàng cuối cùng, và trên mỡi cột có không quá một con quỷ.
Turbo thực hiện một chuỡi các lần thử để tìm cách đi từ hàng đầu tiên tới hàng cuối cùng. Tại mỗi lần thử, nó được quyền chọn một ô bất kỳ trên hàng đầu tiên để xuát phát, sau đó liên tục di chuyển giữa các ô, mỡi bước từ một ô sang một ô có cạnh chung với ô mà nó đang đứng. (Nó được phép đi qua các ô đã từng ghé qua trước đó.) Nếu nó tới một ô có quý thì lần thử này dừng lại và nó được đưa trở lại hàng đàu tiên để thực hiện một lần thử mới. Nhữgg con quỷ không di chuyển, và Turbo nhớ mỡi ô nó từng ghé qua là có quỷ hay không. Nếu nó tới được một ô bát kỳ trên hàng cuới cùng thì trò chơi kêt thúc.
Xác định giá trị nhỏ nhât của $n$ sao cho Turbo luôn có chién lược đảm bảo tới được hàng cuới cùng sau không quá $n$ lần thử, cho dù những con quỷ có nấp ờ những ô nào đi chăng nữa.

Bài 6. Ký hiệu $Q$ là tập các số hữu tỷ. Một hàm sỗ $f: Q \rightarrow Q$ được gọi là đẹp nêu có tính chất sau: với mỗi $x, y \in \mathbb{Q}$,
\[
f(x+f(y))=f(x)+y \text { hoặc } f(f(x)+y)=x+f(y) .
\]

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$, có không quá $c$ số hữu tỷ phân biệt có dạng $f(r)+f(-r)$, với $r$ là số hữu tỷ nào đó, và tìm giá trị nhỏ nhát có thể của $c$.