Khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt trái đất khi biết vĩ độ và kinh độ tương ứng

Trong mô hình toán học, bề mặt Trái Đất là mặt cầu với bán kính 6 371 km (theo: science.nasa. gov/earth/facts). Mỗi kinh tuyến là một nửa đường tròn có đường kính là trục của Trái Đất (đoạn thẳng nối cực Bắc N và cực Nam S). Kinh tuyến gốc là kinh tuyến đi qua Đài Thiên văn Greenwich ở London. Mặt phẳng chứa kinh tuyến gốc chia Trái Đất làm hai nửa là bán cầu Đông và bán cầu Tây, nước ta nằm ở bán cầu Đông.

Kinh độ của một điểm $P$ trên bề mặt Trái Đất là số đo của góc nhị diện có hai mặt tương ứng chứa kinh tuyến gốc và kinh tuyến đi qua $P$ (cạnh của góc nhị diện này là đường thẳng chứa trục Trái Đất). Kinh độ nhận giá trị trong đoạn từ $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}.$

Vĩ độ của điểm $P$ là số đo của góc giữa mặt phẳng chứa đường xích đạo và đường thẳng đi qua $P$ và tâm $O$ của Trái Đất. Vĩ độ nhận giá trị trong đoạn từ $0^{\circ}$ đến $90^{\circ}.$

Mỗi điểm trên bề mặt Trái Đất thuộc một trong hai bán cầu Bắc hoặc Nam và thuộc một trong hai bán cầu Đông hoặc Tây. Vì vậy, đi kèm với vĩ độ, còn có chữ N hoặc S nếu vị trí đó tương ứng thuộc bán cầu Bắc hay bán cầu Nam và đi kèm với kinh độ có chữ E hoặc W nếu vị trí đó tương ứng thuộc bán cầu Đông hay bán cầu Tây. Chẳng hạn, hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí: ${{21}^{{}^\circ }}{{01}^{\prime }}{{51}^{\prime \prime }}N,{{105}^{{}^\circ }}{{51}^{\prime }}{{09}^{\prime \prime }}E$ (theo: maps.google.com).

Vị trí trên mặt đất hoàn toàn xác định khi biết vĩ độ và kinh độ (bao gồm cả các kí hiệu N, S, E, W).

Coi bề mặt trái đất là mặt cầu có bán kính $6\text{ 371 km}\text{.}$ Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $6\text{ }371\text{ km}\text{.}$ Tia $Ox$ chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia $Oz$ chứa điểm cực Bắc N, tia $Oy$ giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông.

Như vậy, trong không gian $Oxyz$ bề mặt Trái Đất có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1.$

Nếu biết vĩ độ và kinh độ của một vị trí trên mặt đất thì toạ độ của nó trong không gian cũng dễ dàng được xác định và ngược lại. Chẳng hạn, vị trí $P$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${{\alpha }^{{}^\circ }}N,{{\beta }^{{}^\circ }}E$ $(0<\alpha <90,0<\beta <180)$ thì có toạ độ $P\left( \cos {{\alpha }^{{}^\circ }}\cos {{\beta }^{{}^\circ }};\text{ }\cos {{\alpha }^{{}^\circ }}\sin {{\beta }^{{}^\circ }};\text{ }\sin {{\alpha }^{{}^\circ }} \right),$ vị trí $Q$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${{\alpha }^{{}^\circ }}N,{{\beta }^{{}^\circ }}W$ $(0<\alpha <90,0<\beta <180)$ thì có toạ độ $Q\left( \cos {{\alpha }^{{}^\circ }}\cos {{\beta }^{{}^\circ }};\text{ }-\cos {{\alpha }^{{}^\circ }}\sin {{\beta }^{{}^\circ }};\text{ }\sin {{\alpha }^{{}^\circ }} \right).$

Đối với một vị trí $P$ trong không trung, gọi $M$ là giao điểm của tia $OP$ với bề mặt Trái Đất. Khi đó vĩ độ, kinh độ của $M$ cũng tương ứng được gọi là vĩ độ, kinh độ của $P.$

Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí $P$ và $Q$ trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ $\overset\frown{PQ}$ của đường tròn có tâm $O$ và đi qua hai điểm $P,\text{ }Q.$ Cung tròn nói trên là đường đi ngắn nhất trên bề mặt Trái Đất từ $P$ đến $Q.$

Cơ sở toán học cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất như sau:

Đặt $\alpha =\widehat{POQ}$ (tính theo radian) thì $\cos \alpha =\dfrac{\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}}{\left| \overrightarrow{OP} \right|.\left| \overrightarrow{OQ} \right|}=\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}$ vì $P,\text{ }Q$ thuộc mặt đất nên $\left| \overrightarrow{OP} \right|=\left| \overrightarrow{OQ} \right|=1.$

Khoảng cách trên mặt đất từ $P$ tới $Q$ là độ dài cung nhỏ $\overset\frown{PQ}$ của đường tròn tâm $O$ đi qua $P,\text{ }Q$ có bán kính $6371\text{ km}$ và bằng \[R.\alpha =6371.\alpha \text{ km}\text{.}\]

Ta tính toán cụ thể hơn:

Xét hai vị trí $P,\text{ }Q$ cùng thuộc bán bán cầu Bắc và bán cầu Đông với vĩ độ, kinh độ tương ứng (sau khi đổi sang radian) của vị trí $P$ là $x,\text{ }a$ và của vị trí $Q$ là $y,\text{ }b.$

Ta có \[P\left( \cos x\cos a;\text{ }\cos x\sin a;\text{ }\sin x \right),Q\left( \cos y\cos b;\text{ }\cos y\sin b;\text{ }\sin y \right)\]

Và \[\cos \alpha =\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=\cos x\cos y\cos a\cos b+\cos x\cos y\sin a\sin b+\sin x\sin y\]

\[=\cos x\cos y\left[ \cos a\cos b+\sin a\sin b \right]+\sin x\sin y\]

\[=\cos x\cos y\cos \left( a-b \right)+\sin x\sin y\]

\[=\cos x\cos y\left[ 1-2{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{a-b}{2} \right) \right]+\sin x\sin y\]

\[=\left[ \cos x\cos y+\sin x\sin y \right]-2\cos x\cos y{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{a-b}{2} \right)\]

\[=\cos \left( x-y \right)-2\cos x\cos y{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{a-b}{2} \right)\]

\[=1-2{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{x-y}{2} \right)-2\cos x\cos y{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{a-b}{2} \right)=1-2{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{\alpha }{2} \right).\]

Vậy \[{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{\alpha }{2} \right)={{\sin }^{2}}\left( \dfrac{x-y}{2} \right)+\cos x\cos y{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{a-b}{2} \right)=c\] (đặt bằng $c$)

Suy ra \[\alpha =2\arcsin \sqrt{c}.\]

Khoảng cách trên mặt đất từ $P$ tới $Q$ là độ dài cung nhỏ $\overset\frown{PQ}$ của đường tròn tâm $O$ đi qua $P,\text{ }Q$ có bán kính $6371\text{ km}$ và bằng \[R.\alpha =6371.\alpha =12742.\arcsin \sqrt{c}\text{ km}\text{.}\]

Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí $10^{\circ} \mathrm{N}, 15^{\circ} \mathrm{E}$ đến vị trí $80^{\circ} \mathrm{N}, 70^{\circ} \mathrm{E}$ ta sẽ được khoảng cách $8271,74~\text{ km}\text{.}$

Theo trang Science, cuối năm 2012, một người dùng trang Reddit tên Patrick Anderson - luật sư môi trường ở Decatur, Georgia (Mỹ) cho rằng chuyến hải trình 32.090,3km từ miền nam Pakistan tới miền đông bắc Nga chính là con đường thẳng trên biển dài nhất Trái đất.

Màu xanh là con đường biển "thắng tắp" dài nhất. Màu đỏ là con đường thẳng trên bộ dài nhất - Ảnh: Science

Rohan Chabukswar, nhà vật lý học ở Trung tâm Nghiên cứu Công nghệ Liên hợp tại Ireland cộng tác với Kushal Mukherjee, kỹ sư tại phòng nghiên cứu IBM Ấn Độ, phát triển thuật toán nhằm tìm cách chứng minh kỷ lục của tuyến đường. Nhóm nghiên cứu sử dụng dữ liệu về bề mặt Trái Đất của Cục Quản lý Đại dương và Khí quyển Quốc gia Mỹ, hiển thị toàn bộ bề mặt hành tinh với độ phân giải không gian có thể nhìn rõ đến 1,8 km. Chabukswar và Mukherjee chứng minh tuyến đường Anderson chia sẻ chính xác là tuyến hàng hải dài nhất thế giới.

Tuyến đường bắt đầu từ bờ biển phía nam của tỉnh Balochistan, gần cảng Karachi, Pakistan, sau đó đi dọc biển Arab, tiến về phía tây nam qua Ấn Độ Dương, ngang qua Madagascar và lục địa châu Phi, băng qua nam Đại Tây Dương vòng qua Nam Cực. Sau khi tới Cape Horn, con đường sẽ đi qua Thái Bình Dương về hướng tây bắc, đi qua phía nam biển Bering và kết thúc ở bờ biển phía đông bắc Kamchatka, Nga. Tổng chiều dài của tuyến đường là 32.090 km.

Các nhà nghiên cứu cũng tính toán tuyến đường bộ dài nhất không đi qua một đại dương hay sông hồ lớn nào. Tuy nhiên, kết quả này còn gây tranh cãi. Theo hai nhà nghiên cứu, con đường đó sẽ trải dài từ Tuyền Châu ở miền đông Trung Quốc đi qua Mông Cổ, Nga và châu Âu, kết thúc gần Sagres, Bồ Đào Nha. Tuyến đường dài 11.241 km, đi qua tổng cộng 15 quốc gia.

Ý kiến khác cho rằng tuyến đường bộ dài nhất lên tới 13.573 km. Cũng sử dụng thông tin từ Wikipedia, tuyến đường sẽ bắt đầu từ bờ biển Tây Phi gần Greenville, Liberia, đi qua kênh đào Suez, và kết thúc ở đầu một bán đảo cách Ôn Châu, Trung Quốc, khoảng 100 km về phía đông bắc. Tuyến đường này đi qua 18 quốc gia và dài hơn con đường mà Chabukswar và Mukherjee công bố 2.300 km.

Câu 1. Coi bề mặt trái đất là mặt cầu có bán kính $6\text{ 371 km}\text{.}$ Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $6\text{ }371\text{ km}\text{.}$ Biết rằng vị trí $M$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${{\alpha }^{{}^\circ }}N,{{\beta }^{{}^\circ }}E$ $(0<\alpha <90,0<\beta <180)$ thì có toạ độ $M\left( \cos {{\alpha }^{{}^\circ }}\cos {{\beta }^{{}^\circ }};\text{ }\cos {{\alpha }^{{}^\circ }}\sin {{\beta }^{{}^\circ }};\text{ }\sin {{\alpha }^{{}^\circ }} \right).$ Khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $P:{{30}^{{}^\circ }}N,{{45}^{{}^\circ }}E$ đến vị trí $Q:{{60}^{{}^\circ }}N,{{45}^{{}^\circ }}E$ là (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư sau dấu phẩy)

Giải. Ta có $P\left( \dfrac{\sqrt{6}}{4};\dfrac{\sqrt{6}}{4};\dfrac{1}{2} \right),\text{ }Q\left( \dfrac{\sqrt{2}}{4};\dfrac{\sqrt{2}}{4};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right).$

Từ đó $\cos \widehat{POQ}=\dfrac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}|\cdot |\overrightarrow{OQ}|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =\widehat{POQ}=\dfrac{\pi }{6}.$

Khoảng cách trên mặt đất từ $P$ tới $Q$ là độ dài cung nhỏ $\overset\frown{PQ}$ của đường tròn tâm $O$ đi qua $P,\text{ }Q$ có bán kính $6371\text{ km}$ và bằng \[R.\alpha =6371\times \dfrac{\pi }{6}\approx 3335,8478\text{ km}\text{.}\] Chọn đáp án A.

Câu 2. Coi bề mặt trái đất là mặt cầu có bán kính $6\text{ 371 km}\text{.}$ Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $6\text{ }371\text{ km}\text{.}$ Biết rằng vị trí $M$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${{\alpha }^{{}^\circ }}N,{{\beta }^{{}^\circ }}E$ $(0<\alpha <90,0<\beta <180)$ thì có toạ độ $M\left( \cos {{\alpha }^{{}^\circ }}\cos {{\beta }^{{}^\circ }};\text{ }\cos {{\alpha }^{{}^\circ }}\sin {{\beta }^{{}^\circ }};\text{ }\sin {{\alpha }^{{}^\circ }} \right).$ Khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $P:{{10}^{{}^\circ }}N,{{15}^{{}^\circ }}E$ đến vị trí $Q:{{80}^{{}^\circ }}N,{{70}^{{}^\circ }}E$ là bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải. Áp dụng công thức đã xây dựng trong bài học với $x=\dfrac{10\pi }{180},\text{ }a=\dfrac{15\pi }{180}$ và $y=\dfrac{80\pi }{180},\text{ }b=\dfrac{70\pi }{180}.$

Khoảng cách trên mặt đất từ $P$ tới $Q$ là độ dài cung nhỏ $\overset\frown{PQ}$ của đường tròn tâm $O$ đi qua $P,\text{ }Q$ có bán kính $6371\text{ km}$ và bằng \[R.\alpha =6371.\alpha =12742.\arcsin \sqrt{c}\]

\[\text{=12742.arcsin}\sqrt{{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{70\pi }{360} \right)+\cos \left( \dfrac{10\pi }{180} \right)\cos \left( \dfrac{80\pi }{180} \right){{\sin }^{2}}\left( \dfrac{55\pi }{360} \right)}\approx \text{8271,728 km}\text{.}\]

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.