Ví dụ 2: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}+3mx-m$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành khi và chỉ khi
A. $m\in (0;1).$ |
B. $m\in (-\infty ;0)\cup (4;+\infty ).$ |
C.$m\in (0;4).$ |
D.$m\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty ).$ |
Lời giải chi tiết. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình
${x^3} - (2m + 1){x^2} + 3mx - m = 0 \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2mx + m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ g(x) = {x^2} - 2mx + m = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có 3 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {{\Delta '}_g} > 0 \hfill \\ g(1) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - m > 0 \hfill \\ 1 - 2m + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}-2)x-{{m}^{2}}+3=0$ có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành?
A.4. |
B.1. |
C.3. |
D.2. |
Lời giải chi tiết. Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}-2;$ trước tiên ta phải có phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\Leftrightarrow {\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-3({{m}^{2}}-2)>0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{15}}{2}<m<\frac{1+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow m\in \left\{ -1,0,1,2 \right\}.$
Điều kiện hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về một phía đối với trục hoành là $y({{x}_{1}}).y({{x}_{2}})>0\Leftrightarrow y=0$ có đúng một nghiệm thực.
Thử trực tiếp các giá trị của $m\in \left\{ -1,0,1,2 \right\}$ nhận các giá trị $m\in \left\{ -1,0,2 \right\}$ để $y=0$ có đúng một nghiệm thực. Chọn đáp án C.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:
hay lắm thầy ơi