Kinh nghiệm xử lí yêu cầu hai điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba nằm về cùng một phía hoặc hai phía khác nhau đối với trục hoành

>>Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất và hàm phân thức bậc hai trên bậc hai

Bạn đọc cùng theo dõi các ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-2x+1-m$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía khác nhau của trục hoành.

Giải. Ta có $\text{ycbt}\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-2x+1-m=0\Leftrightarrow m=g\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-2x+1$ có ba nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow {{g}_{ct}}<m<{{g}_{cd}}\Leftrightarrow -5<m<\dfrac{73}{54}\Rightarrow m\in \left\{ -4,-3,-2,-1,0,1 \right\}.$ Có tất cả 6 số nguyên thoả mãn. Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}+3mx-m$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành khi và chỉ khi

Giải. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình

${x^3} - (2m + 1){x^2} + 3mx - m = 0 \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2mx + m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ g(x) = {x^2} - 2mx + m = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có 3 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {{\Delta '}_g} > 0 \hfill \\ g(1) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - m > 0 \hfill \\ 1 - 2m + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}-2)x-{{m}^{2}}+3$ có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành?

Giải. Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}-2;$ trước tiên ta phải có phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\Leftrightarrow {\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-3({{m}^{2}}-2)>0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{15}}{2}<m<\frac{1+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow m\in \left\{ -1,0,1,2 \right\}.$

Điều kiện hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm khác phía đối với trục hoành là $y({{x}_{1}}).y({{x}_{2}})<0\Leftrightarrow y=0$ có ba nghiệm phân biệt.

Thử trực tiếp các giá trị của $m\in \left\{ -1,0,1,2 \right\}$ nhận duy nhất $m=1$ để $y=0$ có ba nghiệm phân biệt. Chọn đáp án B.

Nhận xét: Việc thử trực tiếp bước cuối như lời giải trên khả thi khi có ít giá trị nguyên của tham số $m$ nhận được từ điều kiện ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt. Ngược lại nếu có quá nhiều giá trị nguyên của tham số $m$ ta dùng đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba.

Combo X Luyện thi 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}-2)x-{{m}^{2}}+3=0$ có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành?

Lời giải chi tiết. Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}-2;$ trước tiên ta phải có phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\Leftrightarrow {\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-3({{m}^{2}}-2)>0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{15}}{2}<m<\frac{1+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow m\in \left\{ -1,0,1,2 \right\}.$

 Điều kiện hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về một phía đối với trục hoành là $y({{x}_{1}}).y({{x}_{2}})>0\Leftrightarrow y=0$ có đúng một nghiệm thực.

Thử trực tiếp các giá trị của $m\in \left\{ -1,0,1,2 \right\}$ nhận các giá trị $m\in \left\{ -1,0,2 \right\}$ để $y=0$ có đúng một nghiệm thực. Chọn đáp án C.

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán chính thức của BGD & ĐT kèm lời giải chi tiết

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 trường THPT Chuyên ĐH Vinh năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết