Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024

Bài 1 (4,0 điểm). Cho $a$ là số thực, xét dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi: ${{u}_{0}}=a,\,{{u}_{n+1}}=u_{n}^{2}+{{u}_{n}},\,\forall n\in \mathbb{N}.$

Đặt ${{S}_{n}}=\dfrac{1}{1+{{u}_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{u}_{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{1+{{u}_{n}}},\,n\ge 1.$ Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy $\left( {{S}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó theo $a.$

Bài 2 (4,0 điểm). Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB.$ Điểm $M$ thuộc tia đối của tia $AB$ $(M$ khác $A).$ Kẻ đường thẳng qua $M$ cắt $(O)$ tại $C$ và $D$ $(C$ nằm giữa $M$ và $D).$ Gọi $N$ là giao điểm của $AC$ và $BD,$ $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC.$ Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $AB$ cắt $AD,\,\,BC$ lần lượt tại $E,\,\,F.$ Đường tròn $(IEF)$ cắt $NI$ tại điểm thứ hai là $J.$

a) Chứng minh rằng $F,\,\,A,\,\,J$ thẳng hàng.

b) Gọi $P$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O.$ Đường thẳng đi qua $I$ song song với $NP$ cắt $AB$ tại $Q;$ đường thẳng đi qua $Q$ song song với $NI$ cắt $PA,\,\,PB$ lần lượt tại $R,\,\,S.$ Chứng minh rằng $(PRS)$ tiếp xúc với $(IEF).$

Bài 3 (4,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của số nguyên dương $k$ để tồn tại đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}\text{ }\!\![\!\!\text{ }x\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i)$P(x)$ có nghiệm nguyên;

ii)$P(x)-2024$ có đúng $k$ nghiệm nguyên phân biệt.

Bài 4 (4,0 điểm). Cô giáo viết lên bảng $80$ số thực phân biệt và đưa ra thử thách cho một nhóm học sinh. Mỗi bạn ban đầu được phát hai mảnh giấy và sẽ dựa theo các số trên bảng để thảo luận với nhau mà viết lên mỗi mảnh giấy nhận được một con số (các số không nhất thiết phân biệt và cũng không nhất thiết giống số nào đó của cô). Mỗi lượt thử thách cô giáo đọc một số $x$ trên bảng và yêu cầu tất cả học sinh đều phải chọn một trong hai mảnh giấy của mình để giơ lên. Lượt thử thách được vượt qua nếu tổng tất cả các số trên các tờ giấy được giơ lên đúng bằng $x.$Nhóm học sinh được coi là vượt qua thử thách nếu vượt qua tất cả $80$ lượt thử thách ứng với $80$ số đã cho.

a) Chứng minh rằng cho dù cô giáo viết những số nào thì một nhóm gồm $79$ bạn chắc chắn sẽ luôn có cách vượt qua thử thách.

b) Nếu cô viết các số $0,1,\ldots ,79$ thì nhóm cần ít nhất bao nhiêu bạn để có thể vượt qua thử thách?

Bài 5 (4,0 điểm). Một số nguyên dương $h$ gọi là số “Hòa Bình” nếu tồn tại hai số nguyên $x,y$ thoả mãn $({{x}^{2}}-6x+12)({{x}^{2}}+12h)={{y}^{3}}$ và $x$ lẻ.

a) Chứng minh rằng số $2$ là một số “Hòa Bình”.

b) Tìm số “Hòa Bình” nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024