Mặt phẳng đoạn chắn - Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn

Trích đề thi và bài giảng khoá PRO X Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 Môn Toán tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Mời bạn đọc cùng theo dõi các ví dụ dưới đây: 

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thay đổi thoả mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7.$ Biết mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{72}{7}.$ Thể tích của khối tứ diện $OABC$ bằng

>>Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$ Vì $\frac{1}{7a}+\frac{2}{7b}+\frac{3}{7c}=1\Rightarrow M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right)\in (ABC).$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3),R=\sqrt{\frac{72}{7}}.$

Ta có $d(I,(ABC))\le IM=\sqrt{{{\left( 1-\frac{1}{7} \right)}^{2}}+{{\left( 2-\frac{2}{7} \right)}^{2}}+{{\left( 3-\frac{3}{7} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}.$

Mặt khác do $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(ABC)$ nên $d(I,(ABC))=R=\sqrt{\frac{72}{7}}.$

Do vậy phải xảy ra dấu bằng, tức $IM\bot (ABC)\Rightarrow (ABC):1\left( x-\frac{1}{7} \right)+2\left( y-\frac{2}{7} \right)+3\left( z-\frac{3}{7} \right)=0.$

Do đó $A(2;0;0),B(0;1;0),C\left( 0;0;\frac{2}{3} \right)\Rightarrow {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.2.1.\frac{2}{3}=\frac{2}{9}.$

Chọn đáp án A.

Trích đề thi và bài giảng khoá PRO X Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 Môn Toán tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Trích đề thi và bài giảng khoá PRO X Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 Môn Toán tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Mặt phẳng đoạn chắn - Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Ví dụ: Biết rằng có $n$ mặt phẳng dạng $({{P}_{i}}):x+{{a}_{i}}y+{{b}_{i}}z+{{c}_{i}}=0(i=1,2,...,n)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục toạ độ lần lượt tại $A,B,C$ khác gốc toạ độ $O$ sao cho $O.ABC$ là hình chóp đều. Giá trị của biểu thức $S={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ bằng

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đoạn chắn - Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Hình toạ độ không gian Oxyz

Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Đề thi này đề cập đến riêng mặt phẳng đoạn chắn

Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục toạ độ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\text{ }(abc\ne 0)$ có phương trình

                                                \[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.\]

mặt phẳng này có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \right).$

• Điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ thuộc mặt phẳng này khi và chỉ khi $\frac{{{x}_{0}}}{a}+\frac{{{y}_{0}}}{b}+\frac{{{z}_{0}}}{c}=1.$

các trường hợp đặc biệt hay gặp:

• $M$ là trọng tâm tam giác $ABC\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=3{{x}_{0}} \\&b=3{{y}_{0}} \\& c=3{{z}_{0}} \\\end{align} \right.\Rightarrow (P):\frac{x}{3{{x}_{0}}}+\frac{y}{3{{y}_{0}}}+\frac{z}{3{{z}_{0}}}=1.$
• $M$ là trực tâm tam giác $ABC\Leftrightarrow OM\bot (P)\Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
• $\min \frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Leftrightarrow OM\bot (P)\Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
• $OA=OB=OC.$ Với $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})\ne 0$ có bốn mặt phẳng thoả mãn. Ngược lại $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})=0$ có ba mặt phẳng thoả mãn.
• Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có tâm $I\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2} \right)$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}.$
• Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ là $r=\frac{\left| abc \right|}{\left| ab \right|+\left| bc \right|+\left| ca \right|+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}.$

XEM TRỰC TUYẾN

TẢI VỀ ĐỀ THI NÀY BẢN PDF

Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html