Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 17): Bài toán đậu xe

Một bãi đỗ xe có 16 chỗ đậu xe liên tiếp đang còn trống. Mười hai chiếc xe đến, mỗi chiếc cần một chỗ đậu xe và tài xế của chúng đã chọn ngẫu nhiên các chỗ đậu xe trong số các chỗ đậu xe có sẵn. Sau đó, An đến bằng chiếc Mobihome của mình, cần 2 chỗ đậu xe liền kề. Xác suất An có thể đậu xe là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải. Ta sử dụng biến cố đối: An không thể đậu xe, tức 12 xe trước đậu xe vào 16 chỗ đậu xe lúc sau không có 2 chỗ đậu xe liền kề còn trống.

Số cách đậu xe ngẫu nhiên của 12 xe là $C_{16}^{12}\cdot 12!$ (chọn ra 12 trong 16 chỗ đậu xe sau đó xếp 12 xe vào 12 chỗ đậu xe vừa chọn).

Giờ ta tìm số cách đậu xe của 12 xe vào 16 chỗ đậu xe lúc sau không có 2 chỗ đậu xe liền kề còn trống.

Hay dễ hiểu hơn là 4 chỗ đậu xe còn trống sau khi 12 xe đậu xe xong không có hai chỗ đậu xe nào liên tiếp.

Bước 1: Xếp 12 xe thành một hàng ngang có 12! cách.

Bước 2: 12 xe đã xếp tạo thành 13 khoảng trống (giữa mỗi hai xe và ở đầu hàng và cuối hàng). Lúc này ta chỉ cần chọn ra 4 trong 13 khoảng trống này để xếp 4 chỗ đậu còn trống vào. Số cách là $C_{13}^{4}.$

Vậy số cách đậu xe của 12 xe vào 16 chỗ đậu xe lúc sau không có 2 chỗ đậu xe liền kề còn trống là $12!C_{14}^{3}.$

Xác suất cần tính là \[1-\dfrac{12!C_{13}^{4}}{12!C_{16}^{12}}=\dfrac{17}{28}\approx 60,71\%.\]

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 16): Con kiến di chuyển trên mặt phẳng tọa độ với độ dài đường đi không quá 20 cm