Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 18): Sơn màu cho các đỉnh của một ngôi sao năm cánh

Mỗi đỉnh của một ngôi sao năm cánh được sơn một màu. Có 6 màu khác nhau để lựa chọn và hai đỉnh của mỗi cạnh phải có màu khác nhau. Hình vẽ bên minh họa một cách sơn màu như vậy.

Có bao nhiêu cách sơn màu như vậy?

Giải. Đánh dấu các đỉnh của ngôi sao như hình vẽ

Để thuận tiện ta gọi 6 màu khác nhau tương ứng là các số 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Tại đỉnh ${{A}_{i}}$ điền số ${{x}_{i}}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}.$ Điều kiện bài toán là ${{x}_{i+1}}\ne {{x}_{i}}$ với mọi $i=1,2,3,4\text{ }\left( 1 \right)$ và ${{x}_{5}}\ne {{x}_{1}}\text{ }\left( 2 \right).$

Số cách điền thỏa mãn (1) là $6\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=6\cdot {{5}^{4}}.$

Giờ ta tìm số cách điền thỏa mãn (1) nhưng không thỏa mãn (2).

Viết lại thành chuỗi số dạng: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{1}}.$

Bước 1: Số ${{x}_{1}}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ có 6 lựa chọn.

Bước 2: Các số còn lại

+ Nếu ${{x}_{2}}={{x}_{4}}=x\Rightarrow x\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\backslash \left\{ {{x}_{1}} \right\}$ có 5 lựa chọn cho cả hai số ${{x}_{2}},{{x}_{4}}$ và ${{x}_{3}}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\backslash \left\{ x \right\}$ có 5 lựa chọn.

+ Nếu ${{x}_{2}}\ne {{x}_{4}}\Rightarrow {{x}_{2}}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\backslash \left\{ {{x}_{1}} \right\}$ có 5 lựa chọn cho ${{x}_{2}}$; ${{x}_{4}}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\backslash \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right\}$ có 4 lựa chọn cho ${{x}_{4}}$ và ${{x}_{3}}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\backslash \left\{ {{x}_{2}},{{x}_{4}} \right\}$ có 4 lựa chọn cho ${{x}_{3}}.$

Vậy số các điền thỏa mãn (1) nhưng không thỏa mãn (2) là $6\cdot 5\cdot 5+6\cdot 5\cdot 4\cdot 4.$

Số cách điền (sơn màu) thỏa mãn là $6\cdot {{5}^{4}}-\left( 6\cdot 5\cdot 5+6\cdot 5\cdot 4\cdot 4 \right)=3120.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 17): Bài toán đậu xe