Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 21): Tính tổng diện tích của tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của một khối lập phương


Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 21): Tính tổng diện tích của tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của một khối lập phương

Tổng diện tích của tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của một khối lập phương cạnh $1$ là $m+\sqrt{n}+\sqrt{p}$ với $m,\text{ }n,\text{ }p$ là các số nguyên dương. Tính $m+n+p.$

Giải. Khối lập phương có 8 đỉnh, nên chọn ra 3 trong 8 đỉnh này ta được một tam giác. Số tam giác là $C_{8}^{3}=56.$

Vấn đề của chúng ta giờ phải xác định các loại tam giác cùng số lượng của chúng để tính diện tích

Loại 1: Tam giác nằm trên một mặt của khối lập phương

Khối lập phương có 6 mặt, mỗi mặt có 4 đỉnh nên số tam giác loại này là $6\cdot C_{4}^{3}=24.$

Chúng là tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là $1$ nên tổng diện tích của chúng là $24\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=12.$

Loại 2: Tam giác nằm trên một mặt chéo của khối lập phương

Khối lập phương có 6 mặt chéo, mỗi mặt chéo có 4 đỉnh nên số tam giác loại này là $6\cdot C_{4}^{3}=24.$

Chúng là tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông là $1,\text{ }\sqrt{2}$ nên tổng diện tích của chúng là $24\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{2}=12\sqrt{2}=\sqrt{288}.$

Loại 3: Tam giác nằm trên một mặt xiên (mặt phẳng qua ba đỉnh trên ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của khối lập phương)

Khối lập phương có 8 đỉnh nên có 8 mặt xiên, mỗi mặt xiên có 3 đỉnh nên số tam giác loại này là 8.

Chúng là tam giác đều độ dài cạnh là $\sqrt{2}$ nên tổng diện tích của chúng là $8\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot {{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=4\sqrt{3}=\sqrt{48}.$

Vậy $m+n+p=12+288+48=348.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 20): Sơn một đường sọc trên mỗi mặt của khối lập phương để được một đường sọc liên tục bao quanh khối lập phương

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả