Tổng diện tích của tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của một khối lập phương cạnh $1$ là $m+\sqrt{n}+\sqrt{p}$ với $m,\text{ }n,\text{ }p$ là các số nguyên dương. Tính $m+n+p.$
Giải. Khối lập phương có 8 đỉnh, nên chọn ra 3 trong 8 đỉnh này ta được một tam giác. Số tam giác là $C_{8}^{3}=56.$
Vấn đề của chúng ta giờ phải xác định các loại tam giác cùng số lượng của chúng để tính diện tích
Loại 1: Tam giác nằm trên một mặt của khối lập phương
Khối lập phương có 6 mặt, mỗi mặt có 4 đỉnh nên số tam giác loại này là $6\cdot C_{4}^{3}=24.$
Chúng là tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là $1$ nên tổng diện tích của chúng là $24\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=12.$
Loại 2: Tam giác nằm trên một mặt chéo của khối lập phương
Khối lập phương có 6 mặt chéo, mỗi mặt chéo có 4 đỉnh nên số tam giác loại này là $6\cdot C_{4}^{3}=24.$
Chúng là tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông là $1,\text{ }\sqrt{2}$ nên tổng diện tích của chúng là $24\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{2}=12\sqrt{2}=\sqrt{288}.$
Loại 3: Tam giác nằm trên một mặt xiên (mặt phẳng qua ba đỉnh trên ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của khối lập phương)
Khối lập phương có 8 đỉnh nên có 8 mặt xiên, mỗi mặt xiên có 3 đỉnh nên số tam giác loại này là 8.
Chúng là tam giác đều độ dài cạnh là $\sqrt{2}$ nên tổng diện tích của chúng là $8\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot {{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=4\sqrt{3}=\sqrt{48}.$
Vậy $m+n+p=12+288+48=348.$
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: