Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 27): Con ếch nhảy trên các lá súng an toàn rời khỏi hồ

Có mười một lá súng trên một cái hồ xếp thành một hàng được đánh số từ 0 đến 10 theo thứ tự đó. Một con ếch đang ở trên lá súng 0 và từ bất kỳ lá súng nào, nó có thể nhảy sang lá súng tiếp theo hoặc nhảy qua một lá súng để đến lá súng tiếp theo với xác suất bằng nhau. Có hai con rắn kiên nhẫn săn mồi trên lá súng 3 và lá súng 6, nếu con ếch nhảy đến các lá súng này nó sẽ bị ăn thịt và nếu con ếch nhảy đến lá súng 10 sẽ an toàn rời khỏi hồ. Xác suất con ếch an toàn rời khỏi hồ là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Giải. Con ếch an toàn rời khỏi hồ khi nó nhảy đến lá súng 10 mà không hạ cánh ở lá súng 3 và lá súng 6.

Muốn vậy con ếch bắt buộc phải hạ cánh ở lá súng 2 và lá súng 5.

Để thuận tiện ta gọi: bước 1 là nhảy từ lá súng n sang lá súng n + 1 và bước 2 là nhảy từ lá súng n sang lá súng n + 2. Xác suất mỗi bước đều là $\dfrac{1}{2}.$

Bước 1: Từ lá súng 0 con ếch hạ cánh ở lá súng 2 (nhảy 2 bước 1 hoặc 1 bước 2) với xác suất là $\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.$

Bước 2: Từ lá súng 2 con ếch bỏ qua lá súng 3 để hạ cánh ở lá súng 5

+ Từ lá súng 2 nhảy bước 2 đến lá súng 4 với xác suất là $\dfrac{1}{2}.$

+ Từ lá súng 4 nhảy bước 1 đến lá súng 5 với xác suất là $\dfrac{1}{2}.$

Vậy xác suất từ lá súng 2 con ếch bỏ qua lá súng 3 để hạ cánh ở lá súng 5 là $\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.$

Bước 3: Từ lá súng 5 con ếch bỏ qua lá súng 6 để hạ cánh ở lá súng 10.

+ Từ lá súng 5 nhảy bước 2 đến lá súng 7 với xác suất là $\dfrac{1}{2}.$

+ Từ lá súng 7 nhảy đến lá súng 10 (nhảy 3 bước 1; 1 bước 1 rồi 1 bước 2; 1 bước 2 rồi 1 bước 1) với xác suất là $\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{8}.$

Vậy xác suất từ lá súng 5 con ếch bỏ qua lá súng 6 để hạ cánh ở lá súng 10 là $\dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{16}.$

Vậy xác suất con ếch an toàn rời khỏi hồ là $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{5}{16}=\dfrac{15}{256}\approx 5,859\%.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 26): Tìm số tập con của một tập hợp không chứa hai số nguyên liên tiếp