Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 29): Quyền thay đổi người trong một trận bóng đá

Trong một trận đấu bóng đá, một đội bóng sử dụng 22 cầu thủ. Một nhóm 11 cầu thủ đá chính sẽ bắt đầu trận đấu và 11 cầu thủ còn lại ngồi trên băng ghế dự bị. Trong suốt trận đấu, huấn luyện viên có thể thực hiện tối đa 3 quyền thay đổi người: trong đó: bất kì cầu thủ nào trên sân cũng được thay thế bởi một trong những cầu thủ dự bị và không có cầu thủ nào rời sân được phép vào lại trận đấu, ngoài ra cầu thủ dự bị được thay vào sân có thể được thay ra sau đó và không có hai quyền thay đổi người cùng một lúc. Hỏi huấn luyện viên có bao nhiêu cách thay đổi người trong suốt trận đấu? (bao gồm cả khả năng không thay người nào).

Giải. Gọi $\left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{11}} \right\}$ là tập hợp 11 cầu thủ dự bị.

TH1: Không thay người nào

Có 1 cách để thực hiện điều này: để tất cả các cầu thủ đá chính ở lại sân trong suốt trận đấu.

TH2: Thay một người

Chọn một cầu thủ trên sân để thay ra và một cầu thủ trên băng ghế dự bị vào sân có $11\cdot 11={{11}^{2}}$ cách.

TH3: Thay hai người

Bước 1: Chọn một cầu thủ trên sân để thay ra và một cầu thủ trên băng ghế dự bị ${{B}_{i}}\in \left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{11}} \right\}$ vào sân

Bước 2: Chọn thêm một cầu thủ trên sân để thay ra và một cầu thủ trên băng ghế dự bị ${{B}_{j}}\in \left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{11}} \right\}\backslash \left\{ {{B}_{i}} \right\}$ vào sân.

Có $\left( 11\cdot 11 \right)\left( 11\cdot 10 \right)=10\cdot {{11}^{3}}$ cách.

TH4: Thay ba người

Bước 1: Chọn một cầu thủ trên sân để thay ra và một cầu thủ trên băng ghế dự bị ${{B}_{i}}\in \left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{11}} \right\}$ vào sân

Bước 2: Chọn thêm một cầu thủ trên sân để thay ra và một cầu thủ trên băng ghế dự bị ${{B}_{j}}\in \left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{11}} \right\}\backslash \left\{ {{B}_{i}} \right\}$ vào sân.

Bước 3: Chọn thêm một cầu thủ trên sân để thay ra và một cầu thủ trên băng ghế dự bị ${{B}_{k}}\in \left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{11}} \right\}\backslash \left\{ {{B}_{i}},{{B}_{j}} \right\}$ vào sân.

Có $\left( 11\cdot 11 \right)\left( 11\cdot 10 \right)\left( 11\cdot 9 \right)=90\cdot {{11}^{4}}$ cách.

Tổng số cách thay đổi người của huấn luyện viên là $1+{{11}^{2}}+10\cdot {{11}^{3}}+90\cdot {{11}^{4}}=1\text{ }331\text{ }122.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 28): Vẫn là bài toán con ếch nhảy trên các lá súng an toàn rời khỏi hồ nhưng khó hơn