Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 30): Quyền thay đổi người trong một trận bóng đá với 5 quyền thay đổi người chỉ được áp dụng trong tối đa 3 lần

Trong một trận đấu bóng đá, một đội bóng sử dụng 22 cầu thủ. Một nhóm 11 cầu thủ đá chính sẽ bắt đầu trận đấu trong khi 11 cầu thủ còn lại ngồi trên băng ghế dự bị. Trong suốt trận đấu, huấn luyện viên có thể thực hiện tối đa 5 quyền thay đổi người trong đó: bất kì cầu thủ nào trên sân cũng được thay thế bởi một trong những cầu thủ dự bị và không có cầu thủ nào rời sân được phép vào lại trận đấu, ngoài ra cầu thủ dự bị được thay vào sân có thể được thay ra sau đó. Tuy nhiên, tránh việc trận đấu có nguy cơ bị "bẻ gãy", 5 quyền thay đổi người chỉ được áp dụng trong tối đa 3 lần, ở 3 khoảng thời gian khác nhau của trận đấu. Hỏi huấn luyện viên có bao nhiêu cách thay đổi người trong suốt trận đấu nếu sử dụng hết 5 quyền thay đổi người trong đúng 2 lần?

Giải. Gọi $\left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{11}} \right\}$ là tập hợp $11$ cầu thủ dự bị.

Huấn luyện viên sử dụng hết 5 quyền thay đổi người trong đúng 2 lần khi lần 1 sử dụng k quyền thay đổi người và lần 2 sử dụng 5 – k quyền thay đổi người với $k\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}.$

Lần 1: Chọn ra k cầu thủ trên sân để thay ra và k cầu thủ trên băng ghế dự bị vào sân có $C_{11}^{k}C_{11}^{k}$ cách. Giả sử các cầu thủ dự bị vào sân ở lần này là ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{k}}.$

Lần 2: Chọn ra 5 – k cầu thủ trên sân để thay ra và 5 – k cầu thủ trên băng ghế dự bị thuộc tập hợp \[\left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{11}} \right\}\backslash \left\{ {{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{k}} \right\}\] vào sân có $C_{11}^{5-k}C_{11-k}^{5-k}$ cách.

Số cách thay đổi người của huấn luyện viên là $\sum\limits_{k=1}^{4}{C_{11}^{k}C_{11}^{k}C_{11}^{5-k}C_{11-k}^{5-k}}=\text{100 623 600}\text{.}$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 29): Quyền thay đổi người trong một trận bóng đá