Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 32): Con dế nhảy ngẫu nhiên giữa bốn chiếc lá sau nhiều lần nhảy nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu

Một con dế nhảy ngẫu nhiên giữa bốn chiếc lá, mỗi lần nhảy đến một trong ba chiếc lá khác với xác suất bằng nhau. Sau bốn lần nhảy, xác suất con dế quay trở lại lá nơi nó bắt đầu là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải. Mỗi lần nhảy đến một trong ba chiếc lá khác nên tổng số cách nhảy sau bốn lần nhảy là ${{3}^{4}}.$

Để thuận tiện ta gọi: các lá 1, 2, 3, 4 và ban đầu con dế ở lá 1.

Số cách nhảy sau bốn lần nhảy con dế quay trở lại lá nơi nó bắt đầu chính là số cách xây dựng một chuỗi số dạng: $1{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}1$ trong đó ${{x}_{i}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}$ và ${{x}_{1}}\ne 1;{{x}_{2}}\ne {{x}_{1}};{{x}_{3}}\ne {{x}_{2}};{{x}_{3}}\ne 1.$

+ Nếu ${{x}_{1}}={{x}_{3}}=x\Rightarrow x\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ 1 \right\}$ có 3 cách cho cả hai số ${{x}_{1}},{{x}_{3}}$ và ${{x}_{2}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ x \right\}$ có 3 cách cho số ${{x}_{2}}.$

+ Nếu ${{x}_{1}}\ne {{x}_{3}}\Rightarrow {{x}_{1}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ 1 \right\}$ có 3 cách cho số ${{x}_{1}};$ ${{x}_{3}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ 1,{{x}_{2}} \right\}$ có 2 cách cho số ${{x}_{3}}$ và ${{x}_{2}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{3}} \right\}$ có 2 cách cho số ${{x}_{2}}.$

Vậy tổng số cách nhảy thỏa mãn là $3\cdot 3+3\cdot 2\cdot 2=21.$

Xác suất cần tính là $P=\dfrac{21}{{{3}^{4}}}=\dfrac{7}{27}\approx 25,93\%.$

Cách 2: Gọi ${{u}_{n}}$ là số cách nhảy của con dế sau $n$ lần nhảy nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu.

Mỗi lần nhảy đến một trong ba chiếc lá khác nên tổng số cách nhảy sau $n$ lần nhảy là ${{3}^{n}}.$

+ Nếu ở lần nhảy thứ $n-1$ nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu thì ở lần nhảy thứ $n$ không có cách nào để nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu.

+ Nếu ở lần nhảy thứ $n-1$ nó chưa quay trở lại lá nơi nó bắt đầu (có ${{3}^{n-1}}-{{u}_{n-1}}$ cách như vậy) thì ở lần nhảy thứ $n$ nó có duy nhất một cách quay trở lại lá nơi nó bắt đầu.

Vậy ${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}.0+\left( {{3}^{n-1}}-{{u}_{n-1}} \right).1={{3}^{n-1}}-{{u}_{n-1}}.$

Ta có ${{u}_{1}}=0\Rightarrow {{u}_{2}}=3\Rightarrow {{u}_{3}}=6\Rightarrow {{u}_{4}}=21\Rightarrow P=\dfrac{21}{{{3}^{4}}}=\dfrac{7}{27}\approx 25,93\%.$

Cách 3: Gọi ${{A}_{n}}$ là biến cố sau $n$ lần nhảy con dế quay trở lại lá nơi nó bắt đầu.

Ta có $P\left( {{A}_{n}}|{{A}_{n-1}} \right)=0,\text{ }P\left( {{A}_{n}}|\overline{{{A}_{n-1}}} \right)=\dfrac{1}{3}.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: $P\left( {{A}_{n}} \right)=P\left( {{A}_{n-1}} \right).P\left( {{A}_{n}}|{{A}_{n-1}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{n-1}}} \right).P\left( {{A}_{n}}|\overline{{{A}_{n-1}}} \right)$

$=P\left( {{A}_{n-1}} \right).0+\left( 1-P\left( {{A}_{n-1}} \right) \right).\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\left( 1-P\left( {{A}_{n-1}} \right) \right)$

$\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{3}\left( P\left( {{A}_{n-1}} \right)-\dfrac{1}{4} \right)$$\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)-\dfrac{1}{4}={{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}}\left( P\left( {{A}_{1}} \right)-\dfrac{1}{4} \right).$

Ta có $P\left( {{A}_{1}} \right)=0\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}{{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}}\Rightarrow P\left( {{A}_{4}} \right)=\dfrac{7}{27}\approx 25,93\%.$

Phát biểu bài toán này trong trường hợp khác:

Một mạng lưới gồm 4 trạm liên lạc vệ tinh được đặt tại các vị trí $A, B, C$ và $D$ tạo thành một tứ diện. Ban đầu, tín hiệu được phát đi từ trạm tại đỉnh $A$. Sau mỗi lần truyền, tín hiệu sẽ được truyền ngẫu nhiên sang một trạm khác nằm ở đỉnh kề với trạm hiện tại (tức là nối với nhau bằng một cạnh của tứ diện). Hỏi sau đúng 4 lần truyền, có bao nhiêu cách để tín hiệu quay trở lại trạm tại đỉnh $A?$

Câu hỏi tương tự dành cho các em tự luyện:

Câu 15. Một con bọ bắt đầu tại một đỉnh của một tam giác đều. Ở mỗi lần di chuyển, nó chọn ngẫu nhiên một trong hai đỉnh mà nó hiện không ở đó và bò dọc theo một cạnh của tam giác đến đỉnh đó. Xác suất con bọ di chuyển đến đỉnh nơi nó bắt đầu ở lần di chuyển thứ mười là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 16. Một con bọ đang ở một đỉnh của một khối tứ diện đều có độ dài mỗi cạnh là $1$ mét. Mỗi lần di chuyển, nó chọn một trong ba cạnh gặp nhau tại đỉnh đó, mỗi cạnh có khả năng được chọn như nhau và bò dọc theo cạnh đó đến đỉnh ở đầu đối diện. Xác suất con bọ quay lại đỉnh nơi nó bắt đầu khi nó đã bò đúng $7$ mét là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 17. Một con bọ đang ở một đỉnh của một khối bát diện đều có độ dài mỗi cạnh là $1$ mét. Mỗi lần di chuyển, nó chọn một trong bốn cạnh gặp nhau tại đỉnh đó, mỗi cạnh có khả năng được chọn như nhau và bò dọc theo cạnh đó đến đỉnh ở đầu đối diện. Xác suất con bọ quay lại đỉnh nơi nó bắt đầu khi nó đã bò đúng $6$ mét là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

... vân vân, có thể ra rất nhiều bài tương tự nhé các em. Chẳng hạn lấy các hình lập phương, hình 12 mặt đều, hình 20 mặt đều!

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 31): Nhà vô địch của một giải đấu bóng đá khi đã xác định được bốn đội vào vòng bán kết

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.