Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 32): Con dế nhảy ngẫu nhiên giữa bốn chiếc lá sau nhiều lần nhảy nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu

Một con dế nhảy ngẫu nhiên giữa bốn chiếc lá, mỗi lần nhảy đến một trong ba chiếc lá khác với xác suất bằng nhau. Sau bốn lần nhảy, xác suất con dế quay trở lại lá nơi nó bắt đầu là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải. Mỗi lần nhảy đến một trong ba chiếc lá khác nên tổng số cách nhảy sau bốn lần nhảy là ${{3}^{4}}.$

Để thuận tiện ta gọi: các lá 1, 2, 3, 4 và ban đầu con dế ở lá 1.

Số cách nhảy sau bốn lần nhảy con dế quay trở lại lá nơi nó bắt đầu chính là số cách xây dựng một chuỗi số dạng: $1{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}1$ trong đó ${{x}_{i}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}$ và ${{x}_{1}}\ne 1;{{x}_{2}}\ne {{x}_{1}};{{x}_{3}}\ne {{x}_{2}};{{x}_{3}}\ne 1.$

+ Nếu ${{x}_{1}}={{x}_{3}}=x\Rightarrow x\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ 1 \right\}$ có 3 cách cho cả hai số ${{x}_{1}},{{x}_{3}}$ và ${{x}_{2}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ x \right\}$ có 3 cách cho số ${{x}_{2}}.$

+ Nếu ${{x}_{1}}\ne {{x}_{3}}\Rightarrow {{x}_{1}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ 1 \right\}$ có 3 cách cho số ${{x}_{1}};$ ${{x}_{3}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ 1,{{x}_{2}} \right\}$ có 2 cách cho số ${{x}_{3}}$ và ${{x}_{2}}\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}\backslash \left\{ {{x}_{1}},{{x}_{3}} \right\}$ có 2 cách cho số ${{x}_{2}}.$

Vậy tổng số cách nhảy thỏa mãn là $3\cdot 3+3\cdot 2\cdot 2=21.$

Xác suất cần tính là $P=\dfrac{21}{{{3}^{4}}}=\dfrac{7}{27}\approx 25,93\%.$

Cách 2: Gọi ${{u}_{n}}$ là số cách nhảy của con dế sau $n$ lần nhảy nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu.

Mỗi lần nhảy đến một trong ba chiếc lá khác nên tổng số cách nhảy sau $n$ lần nhảy là ${{3}^{n}}.$

+ Nếu ở lần nhảy thứ $n-1$ nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu thì ở lần nhảy thứ $n$ không có cách nào để nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu.

+ Nếu ở lần nhảy thứ $n-1$ nó chưa quay trở lại lá nơi nó bắt đầu (có ${{3}^{n-1}}-{{u}_{n-1}}$ cách như vậy) thì ở lần nhảy thứ $n$ nó có duy nhất một cách quay trở lại lá nơi nó bắt đầu.

Vậy ${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}.0+\left( {{3}^{n-1}}-{{u}_{n-1}} \right).1={{3}^{n-1}}-{{u}_{n-1}}.$

Ta có ${{u}_{1}}=0\Rightarrow {{u}_{2}}=3\Rightarrow {{u}_{3}}=6\Rightarrow {{u}_{4}}=21\Rightarrow P=\dfrac{21}{{{3}^{4}}}=\dfrac{7}{27}\approx 25,93\%.$

Cách 3: Gọi ${{A}_{n}}$ là biến cố sau $n$ lần nhảy con dế quay trở lại lá nơi nó bắt đầu.

Ta có $P\left( {{A}_{n}}|{{A}_{n-1}} \right)=0,\text{ }P\left( {{A}_{n}}|\overline{{{A}_{n-1}}} \right)=\dfrac{1}{3}.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: $P\left( {{A}_{n}} \right)=P\left( {{A}_{n-1}} \right).P\left( {{A}_{n}}|{{A}_{n-1}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{n-1}}} \right).P\left( {{A}_{n}}|\overline{{{A}_{n-1}}} \right)$

$=P\left( {{A}_{n-1}} \right).0+\left( 1-P\left( {{A}_{n-1}} \right) \right).\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\left( 1-P\left( {{A}_{n-1}} \right) \right)$

$\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{3}\left( P\left( {{A}_{n-1}} \right)-\dfrac{1}{4} \right)$$\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)-\dfrac{1}{4}={{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}}\left( P\left( {{A}_{1}} \right)-\dfrac{1}{4} \right).$

Ta có $P\left( {{A}_{1}} \right)=0\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}{{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}}\Rightarrow P\left( {{A}_{4}} \right)=\dfrac{7}{27}\approx 25,93\%.$

Câu hỏi tương tự dành cho các em tự luyện:

Câu 15. Một con bọ bắt đầu tại một đỉnh của một tam giác đều. Ở mỗi lần di chuyển, nó chọn ngẫu nhiên một trong hai đỉnh mà nó hiện không ở đó và bò dọc theo một cạnh của tam giác đến đỉnh đó. Xác suất con bọ di chuyển đến đỉnh nơi nó bắt đầu ở lần di chuyển thứ mười là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 16. Một con bọ đang ở một đỉnh của một khối tứ diện đều có độ dài mỗi cạnh là $1$ mét. Mỗi lần di chuyển, nó chọn một trong ba cạnh gặp nhau tại đỉnh đó, mỗi cạnh có khả năng được chọn như nhau và bò dọc theo cạnh đó đến đỉnh ở đầu đối diện. Xác suất con bọ quay lại đỉnh nơi nó bắt đầu khi nó đã bò đúng $7$ mét là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 17. Một con bọ đang ở một đỉnh của một khối bát diện đều có độ dài mỗi cạnh là $1$ mét. Mỗi lần di chuyển, nó chọn một trong bốn cạnh gặp nhau tại đỉnh đó, mỗi cạnh có khả năng được chọn như nhau và bò dọc theo cạnh đó đến đỉnh ở đầu đối diện. Xác suất con bọ quay lại đỉnh nơi nó bắt đầu khi nó đã bò đúng $6$ mét là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

... vân vân, có thể ra rất nhiều bài tương tự nhé các em. Chẳng hạn lấy các hình lập phương, hình 12 mặt đều, hình 20 mặt đều!

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 31): Nhà vô địch của một giải đấu bóng đá khi đã xác định được bốn đội vào vòng bán kết