Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 33): Xếp các quả bóng vào ba cái thùng sao cho thùng nào cũng chứa lẻ quả bóng

An xếp ngẫu nhiên 2025 quả bóng vào ba cái thùng (mỗi thùng có thể chứa được 2025 quả bóng). Xác suất để thùng nào cũng chứa lẻ quả bóng là $\dfrac{1}{a}\left( 1-\dfrac{1}{{{b}^{c}}} \right)$ với $a,\text{ }b,\text{ }c$ là các số nguyên dương và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b+c.$

Giải. Tổng của ba số nguyên là một số lẻ khi cả ba số đều lẻ hoặc một số lẻ và hai số chẵn.

Gọi ${{u}_{n}}$ là số cách xếp $2n+1$ quả bóng vào $3$ cái thùng (mỗi thùng có thể chứa được $2n+1$ quả bóng) sao cho số bóng trong mỗi thùng là số lẻ.

Mỗi quả bóng có 3 lựa chọn để bỏ vào thùng (thùng thứ nhất, thùng thứ hai, thùng thứ ba) nên tổng số cách xếp $2n+1$ quả bóng vào 3 cái thùng là ${{3}^{2n+1}}.$

+ Nếu $2n-1$ quả bóng xếp trước đó xảy ra thùng nào cũng chứa lẻ quả bóng (có ${{u}_{n-1}}$ cách như vậy) thì 2 quả bóng còn lại phải được xếp vào cùng một thùng có 3 cách.

+ Nếu $2n-1$ quả bóng xếp trước đó xảy ra một thùng chứa lẻ quả bóng và hai thùng chứa chẵn quả bóng (có ${{3}^{2n-1}}-{{u}_{n-1}}$ cách như vậy) thì 2 quả bóng còn lại phải được xếp vào hai thùng chứa chẵn quả bóng có 2 cách.

Vậy ${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}\cdot 3+\left[ {{3}^{2n-1}}-{{u}_{n-1}} \right]\cdot 2={{u}_{n-1}}+2\cdot {{3}^{2n-1}}$

Do đó ${{u}_{n}}={{u}_{0}}+\left( {{u}_{1}}-{{u}_{0}} \right)+\left( {{u}_{2}}-{{u}_{1}} \right)+...+\left( {{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right)=0+\sum\limits_{k=1}^{n}{2\cdot {{3}^{2k-1}}}=\dfrac{3}{4}\left( {{9}^{n}}-1 \right).$

Xác suất cần tính là $\dfrac{3\left( {{9}^{n}}-1 \right)}{4\cdot {{3}^{2n+1}}}=\dfrac{1}{4}\left( 1-\dfrac{1}{{{3}^{2n}}} \right).$ Với $n=1012\Rightarrow a+b+c=4+3+2024=2031.$

Cách 2: Gọi ${{A}_{n}}$ là biến cố khi xếp $2n+1$ quả bóng vào $3$ cái thùng (mỗi thùng có thể chứa được $2n+1$ quả bóng) sao cho số bóng trong mỗi thùng là số lẻ.

Ta có \[P\left( {{A}_{0}} \right)=0\] và áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( {{A}_{n}} \right)=P\left( {{A}_{n-1}} \right).P\left( {{A}_{n}}|{{A}_{n-1}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{n-1}}} \right).P\left( {{A}_{n}}|\overline{{{A}_{n-1}}} \right)$

Khi ${{A}_{n-1}}$ xảy ra thì số bóng trong mỗi thùng đều lẻ thì 2 quả bóng còn lại phải được xếp vào cùng một thùng do đó \[P\left( {{A}_{n}}|{{A}_{n-1}} \right)=\dfrac{3}{{{3}^{2}}}=\dfrac{1}{3}.\]

Khi $\overline{{{A}_{n-1}}}$ xảy ra thì số bóng trong một thùng lẻ và số bóng trong hai thùng chẵn thì 2 quả bóng còn lại phải được xếp vào hai thùng chứa chẵn quả bóng do đó \[P\left( {{A}_{n}}|\overline{{{A}_{n-1}}} \right)=\dfrac{2.1}{{{3}^{2}}}=\dfrac{2}{9}.\]

Vậy \[P\left( {{A}_{n}} \right)=P\left( {{A}_{n-1}} \right).\dfrac{1}{3}+\left( 1-P\left( {{A}_{n-1}} \right) \right).\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9}P\left( {{A}_{n-1}} \right)\]

\[\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{9}\left( P\left( {{A}_{n-1}} \right)-\dfrac{1}{4} \right)\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)-\dfrac{1}{4}={{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{n}}\left( P\left( {{A}_{0}} \right)-\dfrac{1}{4} \right)=-\dfrac{1}{4\cdot {{3}^{2n}}}\]\[\Rightarrow P\left( {{A}_{n}} \right)=\dfrac{1}{4}\left( 1-\dfrac{1}{{{3}^{2n}}} \right).\]

Cách 3: Xếp vào thùng thứ nhất $a$ quả bóng, thùng thứ hai $b$ quả bóng và thùng thứ ba $c$ quả bóng với $a,\text{ }b,\text{ }c$ là các số nguyên không âm và $a+b+c=2n+1.$

Số cách xếp của chúng ta là $\sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}}$ chính là hệ số của ${{x}^{a}}{{y}^{b}}{{z}^{c}}$ trong khai triển:

\[{{\left( x+y+z \right)}^{2n+1}}=\sum{C_{2n+1}^{a}{{x}^{a}}{{\left( y+z \right)}^{2n+1-a}}}=\sum{C_{2n+1}^{a}{{x}^{a}}C_{2n+1-a}^{b}{{y}^{b}}{{z}^{2n+1-a-b}}}=\sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}{{x}^{a}}{{y}^{b}}{{z}^{c}}\text{ }}\left( * \right).\]

Số cách xếp mà thùng nào cũng chứa lẻ quả bóng chính là \[\sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}}\] với $a,\text{ }b,\text{ }c$ là các số nguyên dương lẻ. Muốn tính tổng này chỉ việc thay vào (*) các giá trị hợp lý của $x,\text{ }y,\text{ }z.$

+ Cho $x=y=z=1\Rightarrow \sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}}={{3}^{2n+1}}\text{ }\left( 1 \right).$

+ Cho \[x=1;y=-1;z=1\Rightarrow \sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}{{\left( -1 \right)}^{b}}}=1\text{ }\left( 2 \right).\]

+ Cho \[x=y=1;z=-1\Rightarrow \sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}{{\left( -1 \right)}^{c}}}=1\text{ }\left( 3 \right).\]

+ Cho $x=1;y=z=-1\Rightarrow \sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}{{\left( -1 \right)}^{b+c}}}=-1\text{ }\left( 4 \right).$

Lấy \[\left( 1 \right)+\left( 4 \right)-\left( 2 \right)-\left( 3 \right)\Rightarrow {{3}^{2n+1}}-3=\sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}\left[ 1+{{\left( -1 \right)}^{b+c}}-{{\left( -1 \right)}^{b}}-{{\left( -1 \right)}^{c}} \right]}\]

\[=\sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}\left( 1-{{\left( -1 \right)}^{b}} \right)\left( 1-{{\left( -1 \right)}^{c}} \right)}=4\sum{C_{2n+1}^{a}C_{2n+1-a}^{b}C_{2n+1-a-b}^{c}}\] với $a,\text{ }b,\text{ }c$ là các số nguyên dương lẻ.

Do đó số cách xếp thỏa mãn là $\dfrac{1}{4}\left( {{3}^{2n+1}}-3 \right)$ và xác suất cần tính là $\dfrac{1}{4}\left( 1-\dfrac{1}{{{3}^{2n}}} \right).$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 32): Con dế nhảy ngẫu nhiên giữa bốn chiếc lá sau nhiều lần nhảy nó quay trở lại lá nơi nó bắt đầu