Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 35): Tổng hai lũy thừa của 2 là một số chia hết cho 9


Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 35): Tổng hai lũy thừa của 2 là một số chia hết cho 9

Gọi $S$ là tập hợp các số có dạng ${{2}^{x}}+{{2}^{y}}$ không vượt quá ${{2}^{40}}$ với $x,\text{ }y$ là hai số tự nhiên phân biệt. Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ $S,$ xác suất số đó chia hết cho 9 là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải. Ta có $0\le x<y\Rightarrow {{2}^{0}}+{{2}^{y}}\le {{2}^{x}}+{{2}^{y}}\le {{2}^{40}}\Rightarrow {{2}^{y}}<{{2}^{40}}\Rightarrow y<40\Rightarrow 0\le x<y\le 39.$

Như vậy chọn ra 2 số trong 40 số 0, 1, ..., 39 ta được một cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn hay được một số thuộc $S.$ Do đó có tất cả $C_{40}^{2}=780$ số thuộc $S.$

Xét điều kiện chia hết cho 9:

Ta có \[{{2}^{x}}+{{2}^{y}}={{2}^{x}}\left( 1+{{2}^{y-x}} \right)\equiv 0\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right)\Leftrightarrow 1+{{2}^{y-x}}\equiv 0\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right)\] do ${{2}^{x}}$ và $9$ nguyên tố cùng nhau.

\[\Leftrightarrow {{2}^{y-x}}\equiv -1\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right)\Leftrightarrow {{2}^{y-x}}\equiv 8\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right).\]

Ta có ${{2}^{6n}}={{64}^{n}}\equiv 1\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right);{{2}^{6n+1}}={{2.64}^{n}}\equiv 2\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right);{{2}^{6n+2}}={{4.64}^{n}}\equiv 4\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right);$

${{2}^{6n+3}}={{8.64}^{n}}\equiv 8\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right);{{2}^{6n+4}}={{16.64}^{n}}\equiv 16\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right)\equiv 7\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right)$

Và ${{2}^{6n+5}}={{32.64}^{n}}\equiv 32\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right)\equiv 5\text{ }\left( \bmod \text{ }9 \right).$

Vậy điều kiện là $y-x=6n+3.$

Ta có $1\le y-x\le 39-0=39\Rightarrow 1\le 6n+3\le 39\Rightarrow n\in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}$

Và $y=x+6n+3\le 39\Leftrightarrow x\le 36-6n\Rightarrow x\in \left\{ 0,...,36-6n \right\};y=x+6n+3.$

Vậy có tất cả $\sum\limits_{n=0}^{6}{\left( 36-6n+1 \right)}=133$ số chia hết cho 9.

Xác suất cần tính là $\dfrac{133}{780}\approx 17,05\%.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 34): Số hoán vị gần tăng của n số nguyên dương đầu tiên

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả