Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 37): Số tập con của tập hợp gồm 2024 số nguyên dương đầu tiên sao cho không có bất kì hai số tự nhiên liên tiếp và tổng các phần tử của tập con đó bằng 2025


Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 37): Số tập con của tập hợp gồm 2024 số nguyên dương đầu tiên sao cho không có bất kì hai số tự nhiên liên tiếp và tổng các phần tử của tập con đó bằng 2025

Cho tập hợp $S$ gồm $2024$ số nguyên dương đầu tiên. Gọi $N$ là số tập con của $S$ gồm ba phần tử, trong đó không có bất kì hai phần tử nào là hai số tự nhiên liên tiếp và tổng các phần tử của tập con đó bằng $2025.$ Tìm số dư khi chia $N$ cho $1000.$

Giải. Gọi ba phần tử của tập con đó là $a,\text{ }b,\text{ }c$ với $1\le a<b-1<c-2\le 2024-2=2022$ và $a+b+c=2025.$

Đặt $x=a;y=b-1;z=c-2\Rightarrow 1\le x<y<z\le 2022$ và $x+y+z=\left( a+b+c \right)-3=2022.$

Ta có $x<y<z\Rightarrow z\ge y+1\ge \left( x+1 \right)+1\Rightarrow 2022\ge \left( x+2 \right)+\left( x+1 \right)+x\Leftrightarrow x\le 673.$

Bước 1: Chọn $x\in \left\{ 1,...,673 \right\}.$

Bước 2: Ta có $2022-x=y+z\ge y+\left( y+1 \right)\Rightarrow y\le \dfrac{2021-x}{2}\Rightarrow y\in \left\{ x+1,...,\left[ \dfrac{2021-x}{2} \right] \right\}$ có

$\left[ \dfrac{2021-x}{2} \right]-\left( x+1 \right)+1=\left[ \dfrac{2021-x}{2} \right]-x$ cách chọn $y.$

Bước 3: Sau khi đã chọn xong $x,\text{ }y$ thì $z=2022-x-y$ có duy nhất một cách chọn.

Vậy số tập con thỏa mãn là $N=\sum\limits_{x=1}^{673}{\left( \left[ \dfrac{2021-x}{2} \right]-x \right)}=339697\Rightarrow N\equiv 697\left( \bmod \text{ }1000 \right).$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 36): Trò chơi hãy chọn giá đúng

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả