Cho tập hợp $S$ gồm $2024$ số nguyên dương đầu tiên. Gọi $N$ là số tập con của $S$ gồm ba phần tử, trong đó không có bất kì hai phần tử nào là hai số tự nhiên liên tiếp và tổng các phần tử của tập con đó bằng $2025.$ Tìm số dư khi chia $N$ cho $1000.$
Giải. Gọi ba phần tử của tập con đó là $a,\text{ }b,\text{ }c$ với $1\le a<b-1<c-2\le 2024-2=2022$ và $a+b+c=2025.$
Đặt $x=a;y=b-1;z=c-2\Rightarrow 1\le x<y<z\le 2022$ và $x+y+z=\left( a+b+c \right)-3=2022.$
Ta có $x<y<z\Rightarrow z\ge y+1\ge \left( x+1 \right)+1\Rightarrow 2022\ge \left( x+2 \right)+\left( x+1 \right)+x\Leftrightarrow x\le 673.$
Bước 1: Chọn $x\in \left\{ 1,...,673 \right\}.$
Bước 2: Ta có $2022-x=y+z\ge y+\left( y+1 \right)\Rightarrow y\le \dfrac{2021-x}{2}\Rightarrow y\in \left\{ x+1,...,\left[ \dfrac{2021-x}{2} \right] \right\}$ có
$\left[ \dfrac{2021-x}{2} \right]-\left( x+1 \right)+1=\left[ \dfrac{2021-x}{2} \right]-x$ cách chọn $y.$
Bước 3: Sau khi đã chọn xong $x,\text{ }y$ thì $z=2022-x-y$ có duy nhất một cách chọn.
Vậy số tập con thỏa mãn là $N=\sum\limits_{x=1}^{673}{\left( \left[ \dfrac{2021-x}{2} \right]-x \right)}=339697\Rightarrow N\equiv 697\left( \bmod \text{ }1000 \right).$
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: