Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 38): Xây dựng chuỗi kí tự gồm 2025 kí tự, mỗi kí tự là một trong các chữ cái A, B, C

Xét chuỗi kí tự gồm $2025$ kí tự, mỗi kí tự là một trong các chữ cái $A,\text{ }B,\text{ }C.$

a) Có $2024\cdot 2025$ chuỗi kí tự gồm $2023$ chữ cái $A,\text{ }1$ chữ cái $B$ và $1$ chữ cái $C.$

b) Có $C_{1349}^{674}\cdot C_{1350}^{674}$ chuỗi kí tự gồm $674$ chữ cái $A,\text{ }675$ chữ cái $B$ và $676$ chữ cái $C$ đồng thời không có bất kì hai chữ cái $C$ đứng cạnh nhau.

c) Có $\dfrac{{{3}^{2025}}+1}{2}$ chuỗi kí tự gồm chẵn chữ cái $A$ (kể cả trường hợp không có chữ cái $A$).

d) Có $\dfrac{{{3}^{2025}}-3}{4}$ chuỗi kí tự gồm lẻ các chữ cái $A,\text{ }B,\text{ }C.$

Giải. a) Việc xây dựng chuỗi kí tự của chúng ta chính là điền các chữ cái $A,\text{ }B,\text{ }C$ vào một hàng gồm $2025$ ô, mỗi ô một chữ cái.

Bước 1: Chọn ra $2023$ ô trong $2025$ ô rồi xếp $2023$ chữ cái $A$ vào có $C_{2025}^{2023}$ cách.

Bước 2: Chọn ra $1$ ô trong $2$ ô còn lại rồi xếp $1$ chữ cái $B$ vào có $C_{2}^{1}$ cách.

Bước 3: Ô còn lại xếp chữ cái $C$ vào có $1$ cách.

Vậy số chuỗi thỏa mãn là $C_{2025}^{2023}\cdot C_{2}^{1}\cdot 1=\dfrac{2025!}{2023!\cdot 1!\cdot 1!}=2024\cdot 2025.$

Một cách hoàn toàn tương tự: Hoán vị của ${{m}_{1}}$ phần tử ${{x}_{1}},\text{ }{{m}_{2}}$ phần tử ${{x}_{2}},\text{ }...,\text{ }$ ${{m}_{n}}$ phần tử ${{x}_{n}}$ là

$C_{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}+...+{{m}_{n}}}^{{{m}_{1}}}\cdot C_{{{m}_{2}}+...+{{m}_{n}}}^{{{m}_{2}}}\cdot ...\cdot C_{{{m}_{n}}}^{{{m}_{n}}}=\dfrac{\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+...+{{m}_{n}} \right)!}{{{m}_{1}}!\cdot {{m}_{2}}!\cdot ...\cdot {{m}_{n}}!}$

được gọi là hoán vị lặp.

b) Bước 1: Xếp $674$ chữ cái $A,\text{ }675$ chữ cái $B$ cạnh nhau có $C_{1349}^{674}\cdot C_{675}^{675}=C_{1349}^{674}$ cách.

Bước 2: Sau khi xếp xong, sinh ra $1348+1+1=1350$ khoảng trống giữa các chữ cái này (gồm $1348$ khoảng trống giữa hai chữ cái cạnh nhau và $1$ khoảng trống ở mỗi đầu).

Muốn xếp thêm $676$ chữ cái $C$ vào sao cho không có bất kì hai chữ cái $C$ đứng cạnh nhau thì chúng phải được xếp vào $1350$ khoảng trống trên. Có $C_{1350}^{676}=C_{1350}^{674}$ cách.

Vậy số chuỗi kí tự thỏa mãn là $C_{1349}^{674}\cdot C_{1350}^{674}.$

Một cách hoàn toàn tương tự: Hoán vị của ${{m}_{1}}$ phần tử ${{x}_{1}},\text{ }{{m}_{2}}$ phần tử ${{x}_{2}},\text{ }...,\text{ }$ ${{m}_{n}}$ phần tử ${{x}_{n}}$ sao cho không có bất kì hai phần tử ${{x}_{n}}$ cạnh nhau là

$C_{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}+...+{{m}_{n-1}}}^{{{m}_{1}}}\cdot C_{{{m}_{2}}+...+{{m}_{n-1}}}^{{{m}_{2}}}\cdot ...\cdot C_{{{m}_{n-1}}}^{{{m}_{n-1}}}\cdot C_{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}+...+{{m}_{n-1}}+1}^{{{m}_{n}}}$ (với điều kiện ${{m}_{n}}\le {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+...+{{m}_{n-1}}+1$)

c) Ta cần xếp $a$ chữ cái $A,\text{ }b$ chữ cái $B$ và $c$ chữ cái $C$ với $a,\text{ }b,\text{ }c$ là các số tự nhiên và $a+b+c=2025.$

Số cách xếp của chúng ta là $\sum{C_{2025}^{a}C_{2025-a}^{b}C_{2025-a-b}^{c}}$ chính là hệ số của ${{x}^{a}}{{y}^{b}}{{z}^{c}}$ trong khai triển:

\[{{\left( x+y+z \right)}^{2025}}=\sum{C_{2025}^{a}{{x}^{a}}{{\left( y+z \right)}^{2025-a}}}=\sum{C_{2025}^{a}{{x}^{a}}C_{2025-a}^{b}{{y}^{b}}{{z}^{2025-a-b}}}=\sum{C_{2025}^{a}C_{2025-a}^{b}C_{2025-a-b}^{c}{{x}^{a}}{{y}^{b}}{{z}^{c}}\text{ }}\left( * \right).\]

Số cách xếp mà có chẵn chữ cái $A$ chính là \[\sum{C_{2025}^{a}C_{2025-a}^{b}C_{2025-a-b}^{c}}\] với $a$ là tự nhiên chẵn.

Muốn tính tổng này chỉ việc thay vào $(*)$ các giá trị hợp lý của $x,\text{ }y,\text{ }z.$

+ Cho $x=y=z=1\Rightarrow \sum{C_{2025}^{a}C_{2025-a}^{b}C_{2025-a-b}^{c}}={{3}^{2025}}\text{ }\left( 1 \right).$

+ Cho \[x=-1;y=z=1\Rightarrow \sum{C_{2025}^{a}C_{2025-a}^{b}C_{2025-a-b}^{c}}{{\left( -1 \right)}^{a}}=1\text{ }\left( 2 \right).\]

Lấy \[\left( 1 \right)+\left( 2 \right)\Rightarrow {{3}^{2025}}+1=\sum{C_{2025}^{a}C_{2025-a}^{b}C_{2025-a-b}^{c}\left( 1+{{\left( -1 \right)}^{a}} \right)}=2\sum{C_{2025}^{a}C_{2025-a}^{b}C_{2025-a-b}^{c}}\] với $a$ là tự nhiên chẵn.

Vậy có $\dfrac{{{3}^{2025}}+1}{2}$ chuỗi kí tự gồm chẵn chữ cái $A$ (kể cả trường hợp không có chữ cái $A$).

d) Các em xem lại câu hỏi trước đó thầy đã đăng, chỉ là phát biểu khác của bài toán: Xếp $2025$ quả bóng vào ba cái thùng sao cho thùng nào cũng chứa lẻ quả bóng. Kết quả là $\dfrac{{{3}^{2025}}-3}{4}$ chuỗi kí tự gồm lẻ các chữ cái $A,\text{ }B,\text{ }C.$

Vậy tất cả các ý đều đúng.

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 37): Số tập con của tập hợp gồm 2024 số nguyên dương đầu tiên sao cho không có bất kì hai số tự nhiên liên tiếp và tổng các phần tử của tập con đó bằng 2025