Có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử $a$ và $b$ của tập hợp $\left\{ {{2}^{1}},{{2}^{2}},{{2}^{3}},\ldots ,{{2}^{2025}} \right\}$ sao cho $\log _a b$ là một số nguyên?
Giải. Ta có $a={{2}^{x}},b={{2}^{y}}\text{ }\left( x,y\in \left\{ 1,2,...,2025 \right\},x\ne y \right)$
và ${{\log }_{a}}b=z\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow b={{a}^{z}}\Leftrightarrow {{2}^{y}}={{2}^{xz}}\Leftrightarrow y=xz\Rightarrow z\in {{\mathbb{N}}^{*}},\text{ }y\vdots x$ và $x\ne y$nên $y\ge x+1$ và $y\ge 2x.$
Ta có $x,y\in \left\{ 1,2,...,2025 \right\}\Rightarrow 2x\le y\le 2025\Rightarrow x\le 1012,5\Rightarrow x\in \left\{ 1,2,...,1012 \right\}.$
Bước 1: Chọn $x\in \left\{ 1,2,...,1012 \right\}.$
Bước 2: Ta xử lý điều kiện: $y\in S=\left\{ x+1,...,2025 \right\}$ và $y\vdots x$
Trong $S$ có $2025-\left( x+1 \right)+1=2025-x$ phần tử trong đó có $\left[ \dfrac{2025-x}{x} \right]$ phần tử chia hết cho $x.$
Vậy sau khi đã chọn $x$ thì $y$ có $\left[ \dfrac{2025-x}{x} \right]$ cách chọn.
Vậy số tập con thỏa mãn là \[\sum\limits_{x=1}^{1012}{\left[ \dfrac{2025-x}{x} \right]}=13\text{ }718.\]
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: