Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ mà $\dfrac{1}{n}=0,000\left( ab \right)=0,000ababab\cdot \cdot \cdot $ với $a$ và $b$ là hai chữ số khác nhau?
Giải. Ta có $\dfrac{1}{n}=0,000\left( ab \right)=0,000ababab\cdot \cdot \cdot =ab\cdot {{10}^{-5}}+ab\cdot {{10}^{-7}}+ab\cdot {{10}^{-9}}+...$
$=\dfrac{ab\cdot {{10}^{-5}}}{1-{{10}^{-2}}}=\dfrac{ab}{99\text{ }000}\Leftrightarrow n=\dfrac{99\text{ }000}{ab}.$
Hoặc $\dfrac{1}{n} = 0,000\left( {ab} \right) = 0,000ababab \cdot \cdot \cdot \Rightarrow \dfrac{{{{10}^3}}}{n} = 0,\left( {ab} \right),\dfrac{{{{10}^5}}}{n} = ab,\left( {ab} \right)$
$\Rightarrow \left( {{10}^{5}}-{{10}^{3}} \right)\cdot \dfrac{1}{n}=ab\Leftrightarrow n=\dfrac{{{10}^{5}}-{{10}^{3}}}{ab}=\dfrac{99\text{ }000}{ab}.$
Do đó $ab={{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}}\cdot {{11}^{t}}\le 99,0\le x\le 3,0\le y\le 2,0\le z\le 3,0\le t\le 1$ là các ước số nguyên dương không vượt quá $99$ của $99\text{ }000={{2}^{3}}\cdot {{3}^{2}}\cdot {{5}^{3}}\cdot {{11}^{1}}.$ Đến đây thủ pháp khả thi nhất chúng ta nghĩ đến là liệt kê, dù nó hơi vất =))
Trường hợp 1: Khi $t=1\Rightarrow {{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}}\le 9$
Khả năng 1: $y=2\Rightarrow {{2}^{x}}\cdot {{5}^{z}}\le 1\Rightarrow \left( x;z \right)=\left( 0;0 \right)$
Khả năng 2: $y=1\Rightarrow {{2}^{x}}\cdot {{5}^{z}}\le 3\Rightarrow \left( x;z \right)=\left( 0;0 \right);\left( 1;0 \right)$
Khả năng 3: $y=0\Rightarrow {{2}^{x}}\cdot {{5}^{z}}\le 9\Rightarrow \left( x;z \right)=\left( 0;0 \right);\left( 0;1 \right);\left( 1;0 \right);\left( 2;0 \right);\left( 3;0 \right)$
Trường hợp 2: Khi $t=0\Rightarrow {{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}}\le 99$
Khả năng 1: $y=2\Rightarrow {{2}^{x}}\cdot {{5}^{z}}\le 11\Rightarrow \left( x;z \right)=\left( 0;0 \right);\left( 0;1 \right);\left( 1;0 \right);\left( 1;1 \right);\left( 2;0 \right);\left( 3;0 \right)$
Khả năng 2: $y=1\Rightarrow {{2}^{x}}\cdot {{5}^{z}}\le 33\Rightarrow \left( x;z \right)=\left( 0;0 \right);\left( 0;1 \right);\left( 0;2 \right);\left( 1;0 \right);\left( 1;1 \right);\left( 2;0 \right);\left( 2;1 \right);\left( 3;0 \right)$
Khả năng 3: $y = 0 \Rightarrow {2^x} \cdot {5^z} \leqslant 99$
$ \Rightarrow \left( {x;z} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {0;1} \right);\left( {0;2} \right);\left( {1;0} \right);\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {2;0} \right);\left( {2;1} \right);\left( {3;0} \right);\left( {3;1} \right)$
Vậy có $1+2+5+6+8+10=32$ ước số nguyên dương như vậy.
Bây giờ chúng ta cần xử lý điều kiện: $a$ và $b$ là hai chữ số khác nhau
Ngược lại, khi $a = b \Rightarrow \dfrac{1}{n} = 0,000\left( a \right),\dfrac{{{{10}^3}}}{n} = 0,\left( a \right),\dfrac{{{{10}^4}}}{n} = a,\left( a \right) \Rightarrow \left( {{{10}^4} - {{10}^3}} \right) \cdot \dfrac{1}{n} = a \Leftrightarrow a = \dfrac{{9{\text{ }}000}}{n}$
Do đó $a$ là các ước số nguyên dương không vượt quá $9$ của $9\text{ }000={{2}^{3}}\cdot {{3}^{2}}\cdot {{5}^{3}}$ có $8$ ước số nguyên dương như vậy là các số $1,2,3,4,5,6,8,9.$
Vậy có tất cả $32-8=24$ số nguyên dương $n$ thỏa mãn.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: