Gọi $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của ${{30}^{5}}$ và tích các phần tử của $S$ là $P.$ Hỏi số các chữ số của $P$ trong hệ thập phân là bao nhiêu?
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của ${{30}^{5}}$ và tích các phần tử của $S$ là $P.$ Hỏi số các chữ số của $P$ trong hệ thập phân là bao nhiêu?
Giải. Phân tích thừa số nguyên tố: ${{30}^{5}}={{2}^{5}}\cdot {{3}^{5}}\cdot {{5}^{5}}.$
Do đó một ước số nguyên dương của ${{30}^{5}}$ có dạng ${{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}}$ với $x,\text{ }y,\text{ }z\in \left\{ 0,1,2,3,4,5 \right\}.$
Do vậy có tất cả $6\cdot 6\cdot 6=216$ ước số nguyên dương.
Tích các phần tử của $S$ là $P=\prod\limits_{x=0}^{5}{\prod\limits_{y=0}^{5}{\prod\limits_{z=0}^{5}{{{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}}}}}$
Ta có ${{\log }_{30}}P=\sum\limits_{x=0}^{5}{\sum\limits_{y=0}^{5}{\sum\limits_{z=0}^{5}{{{\log }_{30}}\left( {{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}} \right)}}}=\sum\limits_{x=0}^{5}{\sum\limits_{y=0}^{5}{\sum\limits_{z=0}^{5}{\left[ x{{\log }_{30}}2+y{{\log }_{30}}3+z{{\log }_{30}}5 \right]}}}$
Có $216$ ước số nguyên dương, trong đó mỗi $x=0,1,2,3,4,5$ lặp lại $\dfrac{216}{6}=36$ lần, mỗi $y=0,1,2,3,4,5$ lặp lại $\dfrac{216}{6}=36$ lần và mỗi $z=0,1,2,3,4,5$ lặp lại $\dfrac{216}{6}=36$ lần
$=\left( 0+1+2+3+4+5 \right)\cdot \dfrac{216}{6}\cdot {{\log }_{30}}2+\left( 0+1+2+3+4+5 \right)\cdot \dfrac{216}{6}\cdot {{\log }_{30}}3$
$+\left( 0+1+2+3+4+5 \right)\cdot \dfrac{216}{6}\cdot {{\log }_{30}}5$
$=540{{\log }_{30}}2+540{{\log }_{30}}3+540{{\log }_{30}}5=540{{\log }_{30}}30={{\log }_{30}}\left( {{30}^{540}} \right).$
Vậy tích các phần tử của $S$ là $P={{30}^{540}}.$
Số chữ số của $P$ trong hệ thập phân là \[\left[ \log \left( {{30}^{540}} \right) \right]+1=\left[ 540\log 30 \right]+1=798.\]
Ghi chú. Với số thực $x\ge 1$ tuỳ ý, viết $x$ trong hệ thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phẩy của $x$ là $n+1,$ trong đó $n$ là phần nguyên của $\log x,\text{ }n=\left[ \log x \right]$ (số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).
>>Xem thêm: Bài toán tìm số chữ số của một số thực dương bất kì trong hệ thập phân
Một cách hoàn toàn tương tự, tích các ước số nguyên dương của số tự nhiên $N={{\left( {{p}_{1}}\cdot {{p}_{2}}\cdot ...\cdot {{p}_{k}} \right)}^{n}}$ là
$P={{\left( {{p}_{1}}\cdot {{p}_{2}}\cdot ...\cdot {{p}_{k}} \right)}^{\dfrac{n{{\left( n+1 \right)}^{k}}}{2}}}.$
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: