Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 42): Tích các ước số nguyên dương của một số nguyên dương


Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 42): Tích các ước số nguyên dương của một số nguyên dương

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của ${{30}^{5}}$ và tích các phần tử của $S$ là $P.$ Hỏi số các chữ số của $P$ trong hệ thập phân là bao nhiêu?

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của ${{30}^{5}}$ và tích các phần tử của $S$ là $P.$ Hỏi số các chữ số của $P$ trong hệ thập phân là bao nhiêu?

Giải. Phân tích thừa số nguyên tố: ${{30}^{5}}={{2}^{5}}\cdot {{3}^{5}}\cdot {{5}^{5}}.$

Do đó một ước số nguyên dương của ${{30}^{5}}$ có dạng ${{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}}$ với $x,\text{ }y,\text{ }z\in \left\{ 0,1,2,3,4,5 \right\}.$

Do vậy có tất cả $6\cdot 6\cdot 6=216$ ước số nguyên dương.

Tích các phần tử của $S$ là $P=\prod\limits_{x=0}^{5}{\prod\limits_{y=0}^{5}{\prod\limits_{z=0}^{5}{{{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}}}}}$

Ta có ${{\log }_{30}}P=\sum\limits_{x=0}^{5}{\sum\limits_{y=0}^{5}{\sum\limits_{z=0}^{5}{{{\log }_{30}}\left( {{2}^{x}}\cdot {{3}^{y}}\cdot {{5}^{z}} \right)}}}=\sum\limits_{x=0}^{5}{\sum\limits_{y=0}^{5}{\sum\limits_{z=0}^{5}{\left[ x{{\log }_{30}}2+y{{\log }_{30}}3+z{{\log }_{30}}5 \right]}}}$

Có $216$ ước số nguyên dương, trong đó mỗi $x=0,1,2,3,4,5$ lặp lại $\dfrac{216}{6}=36$ lần, mỗi $y=0,1,2,3,4,5$ lặp lại $\dfrac{216}{6}=36$ lần và mỗi $z=0,1,2,3,4,5$ lặp lại $\dfrac{216}{6}=36$ lần

$=\left( 0+1+2+3+4+5 \right)\cdot \dfrac{216}{6}\cdot {{\log }_{30}}2+\left( 0+1+2+3+4+5 \right)\cdot \dfrac{216}{6}\cdot {{\log }_{30}}3$

$+\left( 0+1+2+3+4+5 \right)\cdot \dfrac{216}{6}\cdot {{\log }_{30}}5$

$=540{{\log }_{30}}2+540{{\log }_{30}}3+540{{\log }_{30}}5=540{{\log }_{30}}30={{\log }_{30}}\left( {{30}^{540}} \right).$

Vậy tích các phần tử của $S$ là $P={{30}^{540}}.$

Số chữ số của $P$ trong hệ thập phân là \[\left[ \log \left( {{30}^{540}} \right) \right]+1=\left[ 540\log 30 \right]+1=798.\]

Ghi chú. Với số thực $x\ge 1$ tuỳ ý, viết $x$ trong hệ thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phẩy của $x$ là $n+1,$ trong đó $n$ là phần nguyên của $\log x,\text{ }n=\left[ \log x \right]$ (số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

>>Xem thêm: Bài toán tìm số chữ số của một số thực dương bất kì trong hệ thập phân

Một cách hoàn toàn tương tự, tích các ước số nguyên dương của số tự nhiên $N={{\left( {{p}_{1}}\cdot {{p}_{2}}\cdot ...\cdot {{p}_{k}} \right)}^{n}}$ là

$P={{\left( {{p}_{1}}\cdot {{p}_{2}}\cdot ...\cdot {{p}_{k}} \right)}^{\dfrac{n{{\left( n+1 \right)}^{k}}}{2}}}.$

 

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 41): Ước số nguyên dương và số thập phân vô hạn tuần hoàn

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả