Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 43): Xác suất lấy được sản phẩm tốt sau khi bỏ một sản phẩm tốt vào một thùng chứa 100 sản phẩm

Một thùng chứa 100 sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là sản phẩm tốt hoặc là sản phẩm không tốt với xác suất như nhau. Bỏ vào đó một sản phẩm tốt, sau đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Xác suất để lấy ra được sản phẩm tốt là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Giải. Gọi $A$ là biến cố lấy ra được sản phẩm tốt.

Gọi ${{E}_{k}}$ là biến cố lúc ban đầu trong thùng có $k\text{ }\left( k=0,1,...,n \right)$ sản phẩm tốt.

Ta có $P\left( {{E}_{k}} \right)=C_{n}^{k}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{k}}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n-k}}=\dfrac{C_{n}^{k}}{{{2}^{n}}}$ và $P\left( A|{{E}_{k}} \right)=\dfrac{k+1}{n+1}$ (sau khi bỏ vào một sản phẩm tốt trong thùng có $n+1$ sản phẩm, trong đó có $k+1$ sản phẩm tốt).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: $P\left( A \right)=\sum\limits_{k=0}^{n}{P\left( {{E}_{k}} \right).P\left( A|{{E}_{k}} \right)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{\left( k+1 \right)C_{n}^{k}}{{{2}^{n}}\left( n+1 \right)}}.$

Ta có ${{\left( x+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{k}}}\Rightarrow x{{\left( x+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{k+1}}}$

Lấy đạo hàm hai vế $\Rightarrow {{\left( x+1 \right)}^{n}}+nx{{\left( x+1 \right)}^{n-1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( k+1 \right)C_{n}^{k}{{x}^{k}}}$

Thay vào hai vế $x=1\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n}{\left( k+1 \right)C_{n}^{k}}={{2}^{n}}+n\cdot {{2}^{n-1}}={{2}^{n-1}}\left( n+2 \right).$

Suy ra $P\left( A \right)=\dfrac{{{2}^{n-1}}\left( n+2 \right)}{{{2}^{n}}\left( n+1 \right)}=\dfrac{n+2}{2\left( n+1 \right)}.$ Với $n=100\Rightarrow P\left( A \right)=\dfrac{100+2}{2\left( 100+1 \right)}=\dfrac{51}{101}\approx 50,5\%.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 42): Tích các ước số nguyên dương của một số nguyên dương

Câu hỏi dành cho các em tự luyện:

Câu 25. Một thùng chứa $100$ sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là sản phẩm tốt hoặc là sản phẩm không tốt với xác suất như nhau. Bỏ vào đó một sản phẩm tốt, sau đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Xác suất để thùng đó chứa đúng $2$ sản phẩm tốt là $\dfrac{p}{q}\cdot {{2}^{-r}}$ với $p,\text{ }q,\text{ }r$ là các số nguyên dương và $p,\text{ }q$ nguyên tố cùng nhau. Giá trị của $p+q+r$ là bao nhiêu?