Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 44): Xác suất lấy được chính phẩm lớn nhất sau ba lần lấy sản phẩm từ hai lô hàng

Có hai lô sản phẩm: lô thứ nhất có $10$ sản phẩm, lô thứ hai có $9$ sản phẩm và lô nào cũng gồm cả chính phẩm và phế phẩm. Từ lô thứ nhất lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm rồi bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô thứ hai lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm rồi bỏ sang lô thứ nhất, cuối cùng từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Xác suất sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm lớn nhất là bao nhiêu phần trăm?

Giải. Gọi lô thứ nhất có $a$ chính phẩm và $b$ phế phẩm; lô thứ hai có $c$ chính phẩm và $d$ phế phẩm. Với $a,b,c,d$ là các số nguyên dương và $a+b=10;c+d=9.$

Gọi $A$ là biến cố sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm.

Gọi ${{E}_{1}}$ là biến cố sau lần lấy thứ hai lô thứ nhất không thay đổi số chính phẩm và số phế phẩm.

Gọi ${{E}_{2}}$ là biến cố sau lần lấy thứ hai lô thứ nhất một phế phẩm được thay bằng một chính phẩm.

Gọi ${{E}_{3}}$ là biến cố sau lần lấy thứ hai lô thứ nhất một chính phẩm được thay bằng một phế phẩm.

Ta có $P\left( {{E}_{1}} \right)=\dfrac{a\left( c+1 \right)+b\left( d+1 \right)}{\left( a+b \right)\left( c+d+1 \right)}=\dfrac{a+b+\left( ac+bd \right)}{\left( a+b \right)\left( c+d+1 \right)};P\left( A|{{E}_{1}} \right)=\dfrac{a}{a+b};$

$P\left( {{E}_{2}} \right)=\dfrac{bc}{\left( a+b \right)\left( c+d+1 \right)};P\left( A|{{E}_{2}} \right)=\dfrac{a+1}{a+b};$

$P\left( {{E}_{3}} \right)=\dfrac{ad}{\left( a+b \right)\left( c+d+1 \right)};P\left( A|{{E}_{3}} \right)=\dfrac{a-1}{a+b}.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: $P\left( A \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{P\left( {{E}_{i}} \right)\cdot P\left( A|{{E}_{i}} \right)}=\dfrac{a+b+\left( ac+bd \right)}{\left( a+b \right)\left( c+d+1 \right)}\cdot \dfrac{a}{a+b}+$

$\dfrac{bc}{\left( a+b \right)\left( c+d+1 \right)}\cdot \dfrac{a+1}{a+b}+\dfrac{ad}{\left( a+b \right)\left( c+d+1 \right)}\cdot \dfrac{a-1}{a+b}$

$=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{bc-ad}{{{\left( a+b \right)}^{2}}\left( c+d+1 \right)}=\dfrac{a}{10}+\dfrac{\left( 10-a \right)c-a\left( 9-c \right)}{{{10}^{3}}}$

$=\dfrac{91a+10c}{1000}\le \dfrac{91\times 9+10\times 8}{1000}=0,899=89,9\%.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 43): Xác suất lấy được sản phẩm tốt sau khi bỏ một sản phẩm tốt vào một thùng chứa 100 sản phẩm

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Một số câu hỏi cho các em tự luyện:

Câu 17. Một lô hàng có 8 sản phẩm cùng loại. Kiểm tra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, thấy có 3 chính phẩm và 1 phế phẩm. Xác suất để khi kiểm tra tiếp 3 sản phẩm nữa sẽ có 1 chính phẩm và 2 phế phẩm là bao nhiêu phầm trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 18. Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm, người thứ nhất và người thứ hai có cùng xác suất làm ra chính phẩm là 0,9 còn xác suất người thứ ba làm ra chính phẩm chỉ là 0,8. Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, thấy có 2 phế phẩm. Xác suất để trong 8 sản phẩm tiếp theo cũng do người đó sản xuất có 6 chính phẩm là bao nhiêu phầm trăm? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).