Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 45): Xác suất người thứ nhất lấy được bóng đỏ nếu biết rằng người thứ hai lấy được bóng đỏ từ một hộp chứa các quả bóng đỏ và bóng xanh

Trong một hộp chứa các quả bóng đỏ và bóng xanh. Người thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra một quả bóng và giữ lại quả bóng đó, sau đó người thứ hai lấy ra ngẫu nhiên ra một quả bóng và cũng giữ lại quả bóng đó. Xác suất người thứ nhất lấy được quả bóng đỏ là bao nhiêu phần trăm, biết rằng người thứ hai lấy được quả bóng đỏ và trước khi người thứ nhất lấy bóng nếu bỏ thêm vào hộp ba quả bóng xanh thì trong hộp có số bóng xanh gấp ba lần số bóng đỏ?

Giải. Gọi số bóng đỏ và bóng xanh có trong hộp lần lượt là $a$ và $b.$

Ta có $b+3=3a\Leftrightarrow b=3\left( a-1 \right).$

Gọi $A$ là biến cố người thứ nhất lấy được quả bóng đỏ.

Gọi $B$ là biến cố người thứ hai lấy được quả bóng đỏ.

Ta có $P\left( A \right)=\dfrac{a}{a+b};P\left( \overline{A} \right)=\dfrac{b}{a+b}$ và $P\left( B|A \right)=\dfrac{a-1}{a+b-1};P\left( B|\overline{A} \right)=\dfrac{a}{a+b-1}.$

Vì vậy $P\left( B \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( B|\overline{A} \right)=\dfrac{a}{a+b}\dfrac{a-1}{a+b-1}+\dfrac{b}{a+b}\dfrac{a}{a+b-1}.$

Xác suất cần tính là $P\left( A|B \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\dfrac{P\left( A \right)\cdot P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)}$

$=\dfrac{\dfrac{a}{a+b}\dfrac{a-1}{a+b-1}}{\dfrac{a}{a+b}\dfrac{a-1}{a+b-1}+\dfrac{b}{a+b}\dfrac{a}{a+b-1}}=\dfrac{a-1}{a+b-1}=\dfrac{a-1}{a-1+3\left( a-1 \right)}=\dfrac{1}{4}=25\%.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 44): Xác suất lấy được chính phẩm lớn nhất sau ba lần lấy sản phẩm từ hai lô hàng

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes