Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 46): Xác suất kết luận của bác sỹ đúng bao nhiêu phần trăm nếu qua 3 lần xét nghiệm có 2 lần cho kết quả dương tính

Một người ốm vào bệnh viện khám. Bác sỹ chuẩn đoán sơ bộ người này có thể bị mắc bệnh A với xác suất là $0,5;$ bị mắc bệnh B với xác suất là $0,2$ và bị mắc bệnh C với xác suất là $0,3.$ Để làm rõ hơn người ta tiến hành xét nghiệm. Biết rằng xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu mắc bệnh A, bệnh B và bệnh C lần lượt là $10\%,$ $20\%$ và $90\%.$ Qua 3 lần xét nghiệm, thấy có 2 lần cho kết quả dương tính và bác sỹ kết luận người này mắc bệnh C. Hỏi kết luận của bác sỹ đúng được bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Giải. Gọi $A$ là biến cố 3 lần xét nghiệm có 2 lần cho kết quả dương tính.

Gọi ${{E}_{1}},\text{ }{{E}_{2}},\text{ }{{E}_{3}}$ lần lượt là biến cố người này mắc bệnh A, bệnh B và bệnh C.

Ta có $P\left( {{E}_{1}} \right)=0,5;\text{ }P\left( {{E}_{2}} \right)=0,2;\text{ }P\left( {{E}_{3}} \right)=0,3$

Và $P\left( A|{{E}_{1}} \right)=C_{3}^{2}{{\left( 0,1 \right)}^{2}}{{\left( 0,9 \right)}^{1}};P\left( A|{{E}_{2}} \right)=C_{3}^{2}{{\left( 0,2 \right)}^{2}}{{\left( 0,8 \right)}^{1}};P\left( A|{{E}_{3}} \right)=C_{3}^{2}{{\left( 0,9 \right)}^{2}}{{\left( 0,1 \right)}^{1}}.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: $P\left( A \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{P\left( {{E}_{i}} \right)\cdot P\left( A|{{E}_{i}} \right)}$

Xác suất người này mắc bệnh C khi 3 lần xét nghiệm có 2 lần cho kết quả dương tính là

$P\left( {{E}_{3}}|A \right)=\dfrac{P\left( {{E}_{3}}A \right)}{P\left( A \right)}=\dfrac{P\left( {{E}_{3}} \right)\cdot P\left( A|{{E}_{3}} \right)}{P\left( A \right)}$

$=\dfrac{0,3\cdot C_{3}^{2}{{\left( 0,9 \right)}^{2}}{{\left( 0,1 \right)}^{1}}}{0,5\cdot C_{3}^{2}{{\left( 0,1 \right)}^{2}}{{\left( 0,9 \right)}^{1}}+0,2\cdot C_{3}^{2}{{\left( 0,2 \right)}^{2}}{{\left( 0,8 \right)}^{1}}+0,3\cdot C_{3}^{2}{{\left( 0,9 \right)}^{2}}{{\left( 0,1 \right)}^{1}}}=\dfrac{243}{352}\approx 69\%.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 45): Xác suất người thứ nhất lấy được bóng đỏ nếu biết rằng người thứ hai lấy được bóng đỏ từ một hộp chứa các quả bóng đỏ và bóng xanh