Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 47): Có bao nhiêu số là bội số nguyên dương của 1001 có dạng 10^j-10^i

Có bao nhiêu bội số nguyên dương của $1001$ có dạng ${{10}^{j}}-{{10}^{i}}$ trong đó $i$ và $j$ là các số nguyên thỏa mãn $0\le i<j\le 99?$

>>Xem thêm: Số ước nguyên dương của một số nguyên dương

Giải. Ta có ${{10}^{j}}-{{10}^{i}}={{10}^{i}}\left( {{10}^{j-i}}-1 \right)\equiv 0\text{ }\left( \bmod \text{ }1001=7\cdot 11\cdot 13 \right)$

$\Leftrightarrow {{10}^{j-i}}-1\equiv 0\text{ }\left( \bmod \text{ }1001=7\cdot 11\cdot 13 \right)$ do ${{10}^{i}}={{2}^{i}}\cdot {{5}^{i}},\text{ }1001=7\cdot 11\cdot 13$ nguyên tố cùng nhau.

Ta có $1001={{10}^{3}}+1,\text{ }{{10}^{6}}-1=\left( {{10}^{3}}-1 \right)\left( {{10}^{3}}+1 \right)\vdots 1001$ và ${{a}^{n}}-{{b}^{n}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+\cdot \cdot \cdot +a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}} \right)\vdots \left( a-b \right).$

Do đó nếu $j-i=6n$ thì ${{10}^{j-i}}-1={{10}^{6n}}-1\equiv 0\text{ }\left( \bmod \text{ }{{10}^{6}}-1 \right)\equiv 0\text{ }\left( \bmod \text{ }{{10}^{3}}+1=1001 \right).$

Ngược lại nếu $j-i=6n+a\text{ }\left( 1\le a\le 5 \right)$ thì ${{10}^{j-i}}-1={{10}^{6n+a}}-1={{10}^{a}}\left( {{10}^{6n}}-1 \right)+\left( {{10}^{a}}-1 \right).$

Ta có ${{10}^{a}}\left( {{10}^{6n}}-1 \right)\vdots 1001$ và $\left( {{10}^{a}}-1 \right)\not{\vdots }1001\text{ }\left( 1\le a\le 5 \right)$ do đó ${{10}^{j-i}}-1\not{\vdots }1001.$

Vậy $j-i=6n$ và $0\le i<j=6n+i\le 99\Rightarrow 0<n\le \frac{99-i}{6}\le \frac{99-0}{6}\Rightarrow n\in \left\{ 1,\cdot \cdot \cdot ,16 \right\}$

Với $0\le i\le 99-6n\Rightarrow i\in \left\{ 0,\cdot \cdot \cdot ,99-6n \right\},j=6n+i\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{16}{\left[ \left( 99-6n \right)-0+1 \right]}=784$ cặp số $\left( i;j \right)$ tương ứng với $784$ bội số nguyên dương của $1001$ thỏa mãn.

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 46): Xác suất kết luận của bác sỹ đúng bao nhiêu phần trăm nếu qua 3 lần xét nghiệm có 2 lần cho kết quả dương tính