Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 48): Xác suất có điều kiện vận dụng cao - sau khi thực hiện phép thử lần lần thứ n số bóng trắng và bóng đen trong túi bằng nhau

Có một cái rổ đựng 10 bóng trắng, 10 bóng đen và một cái túi rỗng. Phép thử sau đây được thực hiện bằng cách tung một con xúc xắc cân đối một lần. Nếu xuất hiện mặt có số chấm là 5 hoặc nhiều hơn thì lấy hai quả bóng trắng trong rổ cho vào túi, còn nếu xuất hiện mặt có số chấm là 4 hoặc ít hơn thì lấy một quả bóng đen trong rổ cho vào túi. Xác suất để sau khi thực hiện phép thử trên lần thứ $n\text{ }\left( 1\le n\le 5 \right)$ số bóng trắng và bóng đen trong túi bằng nhau, biết rằng tổng số bóng trắng và bóng đen trong túi không nhỏ hơn $7$ sau khi thực hiện phép thử trên 5 lần là $\dfrac{p}{q}$ với $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm giá trị của $p+q.$

>>Xem thêm:Xác suất có điều kiện

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Giải. Gọi $A$ là biến cố sau khi thực hiện phép thử trên 5 lần tổng số bóng trắng và bóng đen trong túi không nhỏ hơn $7.$

Gọi $B$ là biến cố sau khi thực hiện phép thử trên lần thứ $n\text{ }\left( 1\le n\le 5 \right)$ số bóng trắng và bóng đen trong túi bằng nhau.

Ta cần tính xác suất điều kiện $P\left( B|A \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}.$

Để tính $P\left( A \right)$ gọi $x,\text{ }y$ lần lượt là số lần xuất hiện mặt có số chấm 5 hoặc nhiều hơn, số lần xuất hiện mặt có số chấm là 4 hoặc ít hơn. Tổng số bóng trắng và bóng đen trong túi là $z.$

Ta có $x+y=5;2x+y=z;0\le x\le 5;0\le y\le 5;7\le z\le 10$

$\Rightarrow 7\le 2x+\left( 5-x \right)\le 10\Rightarrow 2\le x\le 5$

$\Rightarrow \left( x;y;z \right)\in \left\{ \left( 2;3;7 \right);\left( 3;2;8 \right);\left( 4;1;9 \right);\left( 5;0;10 \right) \right\}$

Xác suất xuất hiện mặt có số chấm 5 hoặc nhiều hơn là $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ và xác suất xuất hiện mặt có số chấm là 4 hoặc ít hơn là $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.$

$\Rightarrow P\left( A \right)=C_{5}^{2}{{\left( \dfrac{2}{6} \right)}^{2}}{{\left( \dfrac{4}{6} \right)}^{3}}+C_{5}^{3}{{\left( \dfrac{2}{6} \right)}^{3}}{{\left( \dfrac{4}{6} \right)}^{2}}+C_{5}^{4}{{\left( \dfrac{2}{6} \right)}^{4}}{{\left( \dfrac{4}{6} \right)}^{1}}+C_{5}^{5}{{\left( \dfrac{2}{6} \right)}^{5}}{{\left( \dfrac{4}{6} \right)}^{0}}=\dfrac{131}{243}.$

Để tính $P\left( AB \right)$ ta liệt kê sau từng lần thực hiện phép thử bằng cách giảm dần số bóng trắng hay tăng dần số bóng đen.

Sau lần 1, trong túi có 2 bóng trắng hoặc 1 bóng đen.

Sau lần 2, trong túi có 4 bóng trắng hoặc 2 bóng trắng và một bóng đen hoặc 2 bóng đen.

Sau lần 3, trong túi có 6 bóng trắng hoặc 4 bóng trắng và 1 bóng đen hoặc 2 bóng trắng và 2 bóng đen hoặc 3 bóng đen.

Sau lần 4, trong túi có 8 bóng trắng hoặc 4 bóng đen hoặc 2 bóng trắng và 3 bóng đen hoặc 4 bóng trắng và 2 bóng đen hoặc 6 bóng trắng và 1 bóng đen.

Sau lần 5, trong túi có 10 bóng trắng hoặc 8 bóng trắng và 1 bóng đen hoặc 6 bóng trắng và 2 bóng đen hoặc 4 bóng trắng và 3 bóng đen hoặc 2 bóng trắng và 4 bóng đen hoặc 5 bóng đen.

Vậy chỉ có sau khi thực hiện phép thử lần thứ 3 thì số bóng trắng và số bóng đen bằng nhau

$\Rightarrow P\left( AB \right)=C_{3}^{1}{{\left( \dfrac{2}{6} \right)}^{1}}{{\left( \dfrac{4}{6} \right)}^{2}}\cdot C_{2}^{1}{{\left( \dfrac{2}{6} \right)}^{1}}{{\left( \dfrac{4}{6} \right)}^{1}}+C_{3}^{1}{{\left( \dfrac{2}{6} \right)}^{1}}{{\left( \dfrac{4}{6} \right)}^{2}}\cdot C_{2}^{2}{{\left( \dfrac{2}{6} \right)}^{2}}{{\left( \dfrac{4}{6} \right)}^{0}}=\dfrac{20}{81}=\dfrac{60}{243}$

$\Rightarrow P\left( B|A \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\dfrac{60/243}{131/243}=\dfrac{60}{131}\Rightarrow p+q=60+131=191.$

Các em tự luyện với câu hỏi đơn giản sau đây:

Câu 7. Có một cái túi chứa bốn lá bài, mỗi lá bài được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4 (số ghi trên các lá bài là khác nhau) và hai cái hộp A, B. Hộp A chứa 8 quả bóng trắng và 8 quả bóng đen, hộp B rỗng.

Phép thử sau đây được thực hiện bằng cách lấy ra ngẫu nhiên một lá bài trong túi, kiểm tra số ghi trên lá bài rồi bỏ lại lá bài đó vào túi. Nếu số ghi trên lá bài là 1, lấy một quả bóng trắng từ hộp A cho vào hộp B. Nếu số ghi trên lá bài là 2 hoặc 3, lấy một quả bóng trắng và một quả bóng đen từ hộp A cho vào hộp B và nếu số ghi trên lá bài là 4, lấy hai quả bóng trắng và một quả bóng đen từ hộp A cho vào hộp B.

Sau khi thực hiện phép thử trên 4 lần, khi số bóng trong hộp B là 8 thì xác suất để có 2 quả bóng đen trong hộp B là $\dfrac{p}{q}$ với $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm giá trị của $p+q.$

Câu 9. Có sáu lá bài, mặt trước mỗi lá bài ghi các số khác nhau là một trong các số tự nhiên từ 1 đến 6 và mặt sau mỗi lá bài ghi số 0. Sáu lá bài này được đặt thành một hàng ngang trên mặt bàn sao cho nhìn thấy mặt trước của mỗi lá bài, theo thứ tự từ trái qua phải là lá bài ghi số 1 đến lá bài ghi số 6. Phép thử sau đây được thực hiện bằng cách tung một con xúc xắc cân đối một lần. Nếu số chấm ở mặt xuất hiện của con xúc xắc là $k$ thì lật ngược lá bài ở vị trí thứ $k$ một lần và đặt lại vào vị trí ban đầu của nó. Sau khi thực hiện phép thử trên 3 lần, khi tổng tất cả các số xuất hiện trên 6 lá bài là chẵn thì xác suất để số chấm là 1 ở mặt xuất hiện của con xúc xắc chỉ xảy ra một lần là $\dfrac{p}{q}$ với $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm giá trị của $p+q.$

Câu 10. Năm đồng xu được đặt thành một hàng ngang trên mặt bàn theo thứ tự từ trái sang phải là đồng xu thứ nhất đến đồng xu thứ năm. Trong năm đồng xu này, đồng xu thứ nhất và đồng xu thứ hai được đặt ngửa và ba đồng xu còn lại được đặt sấp. Phép thử sau đây được thực hiện bằng cách tung một con xúc xắc cân đối một lần. Khi số chấm ở mặt xuất hiện của con xúc xắc là $k$, nếu $k \leq 5$, đồng xu thứ $k$ được tung một lần sau đó đặt lại vào vị trí ban đầu của nó. Nếu $k=6$, tất cả các đồng xu được tung một lần sau đó đặt lại vào vị trí ban đầu của chúng. Sau khi thực hiện phép thử trên 3 lần, xác suất để cả 5 đồng xu đều được đặt ngửa là $\dfrac{p}{q}$ với $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm giá trị của $p+q.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 47): Có bao nhiêu số là bội số nguyên dương của 1001 có dạng 10^j-10^i

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.