Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 49): Xác suất thắng trò chơi tung một con xúc xắc nếu là người tung trước

An và Bình tham gia một trò chơi trong đó mỗi người sẽ tung một con xúc xắc cân đối một lần. An tung trước, sau đó đến Bình, sau đó đến An, ... quá trình tiếp tục cho đến khi nào xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng lại và người đó sẽ thắng. Xác suất An thắng là $\dfrac{p}{q}$ với $p,\text{ }q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q.$

>>Xem thêm:Xác suất có điều kiện

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Giải. Gọi ${{A}_{i}}$ là biến cố lần tung thứ $i$ của An con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.

Gọi ${{B}_{i}}$ là biến cố lần tung thứ $i$ của Bình con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.

Ta có $P\left( {{A}_{i}} \right)=\dfrac{1}{6},P\left( \overline{{{A}_{i}}} \right)=\dfrac{5}{6},P\left( {{B}_{i}} \right)=\dfrac{1}{6},P\left( \overline{{{B}_{i}}} \right)=\dfrac{5}{6}.$

Khi An tung trước, xác suất để An thắng là $P\left( {{A}_{1}}\cup \overline{{{A}_{1}}}\text{ }\overline{{{B}_{1}}}{{A}_{2}}\cup \overline{{{A}_{1}}}\text{ }\overline{{{B}_{1}}}\text{ }\overline{{{A}_{2}}}\text{ }\overline{{{B}_{2}}}{{A}_{3}}\cup \cdot \cdot \cdot  \right)$

$=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{1}}}\text{ }\overline{{{B}_{1}}}{{A}_{2}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{1}}}\text{ }\overline{{{B}_{1}}}\text{ }\overline{{{A}_{2}}}\text{ }\overline{{{B}_{2}}}{{A}_{3}} \right)+\cdot \cdot \cdot $

Ta có $P\left( \overline{{{A}_{1}}}\text{ }\overline{{{B}_{1}}}\cdot \cdot \cdot \overline{{{A}_{n}}}\text{ }\overline{{{B}_{n}}}{{A}_{n+1}} \right)=P\left( \overline{{{A}_{1}}} \right)P\left( \overline{{{B}_{1}}} \right)\cdot \cdot \cdot P\left( \overline{{{A}_{n}}} \right)P\left( \overline{{{B}_{n}}} \right)P\left( {{A}_{n+1}} \right)={{\left( \dfrac{5}{6} \right)}^{2n}}\dfrac{1}{6}$

$=\dfrac{1}{6}+{{\left( \dfrac{5}{6} \right)}^{2}}\dfrac{1}{6}+{{\left( \dfrac{5}{6} \right)}^{4}}\dfrac{1}{6}+\cdot \cdot \cdot =\dfrac{\dfrac{1}{6}}{1-{{\left( \dfrac{5}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{6}{11}\Rightarrow p+q=6+11=17$ (tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = \dfrac{1}{6},q = {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^2}$).

Câu hỏi dành cho các em tự luyện

Câu 16. An và Bình tham gia một trò chơi trong đó mỗi người sẽ tung đồng thời hai con xúc xắc cân đối một lần. An tung trước, sau đó đến Bình, sau đó đến An, ... quá trình tiếp tục cho đến khi có người thắng thì dừng lại. An thắng khi tổng số chấm ở mặt xuất hiện trên hai con xúc xắc của An là 6 hoặc 9 và Bình thắng khi tổng số chấm ở mặt xuất hiện trên hai con xúc xắc của Bình là 7 hoặc 10. Xác suất An thắng là $\dfrac{p}{q}$ với $p,\text{ }q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q.$

https://askmath.vn/cau-hoi/an-va-binh-tham-gia-mot-tro-choi-trong-do-moi-nguoi-se-tung-dong-thoi/53908

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 48): Xác suất có điều kiện vận dụng cao - sau khi thực hiện phép thử lần lần thứ n số bóng trắng và bóng đen trong túi bằng nhau

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.