Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 50): Xác suất không có bốn người liên tiếp nào có chiều tăng dần, từ trước ra sau biết rằng bốn người đầu hàng không có chiều cao tăng dần từ trước ra sau

Sáu người có chiều cao khác nhau đang xếp hàng để mua vé xem phim. Xác suất để không có bốn người liên tiếp nào có chiều tăng dần, từ trước ra sau biết rằng bốn người đầu hàng không có chiều cao tăng dần từ trước ra sau là $\dfrac{p}{q}$ với $p,\text{ }q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q.$

>>Xem thêm:Xác suất có điều kiện

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Giải. Gọi $A$ biến cố người thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ tư có chiều cao tăng dần từ trước ra sau, $B$ biến cố người thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm có chiều cao tăng dần từ trước ra sau, $C$ biến cố người thứ ba, thứ tư, thứ năm và thứ sáu có chiều cao tăng dần từ trước ra sau.

Ta cần tính xác suất có điều kiện: \[P\left( \overline{A}\text{ }\overline{B}\text{ }\overline{C}|\overline{A} \right)=\dfrac{P\left( \overline{A}\text{ }\overline{B}\text{ }\overline{C}\text{ }\overline{A} \right)}{P\left( \overline{A} \right)}=\dfrac{P\left( \overline{A}\text{ }\overline{B}\text{ }\overline{C} \right)}{P\left( \overline{A} \right)}=\dfrac{n\left( \overline{A}\text{ }\overline{B}\text{ }\overline{C} \right)}{n\left( \overline{A} \right)}.\]

Ta có \[n\left( \Omega  \right)=6!=720;\text{ }n\left( \overline{A}\text{ }\overline{B}\text{ }\overline{C} \right)=n\left( \Omega  \right)-n\left( A\cup B\cup C \right);\text{ }n\left( \overline{A} \right)=n\left( \Omega  \right)-n\left( A \right).\]

Và $n\left( A\cup B\cup C \right)=n\left( A \right)+n\left( B \right)+n\left( C \right)-\left[ n\left( AB \right)+n\left( AC \right)+n\left( BC \right) \right]+n\left( ABC \right)$ (Nguyên lý bao gồm – loại trừ)

(a) Đối với biến cố $A$ chúng ta chỉ cần chọn ra 4 trong 6 người sau đó chỉ có một cách để sắp xếp họ vào vị trí có chiều cao tăng dần từ trước ra sau, sau đó là 2! cách để sắp xếp hai người còn lại vào hàng.

Vậy $n\left( A \right)=C_{6}^{4}\cdot 1\cdot 2!=30.$ Tương tự đối với các biến cố $B,\text{ }C$ ta có $n\left( B \right)=n\left( C \right)=30.$

(b) Đối với biến cố $AB$ ta cần sắp xếp năm người có chiều cao tăng dần từ trước ra sau, ta có $n\left( AB \right)=C_{6}^{5}\cdot 1\cdot 1!=6.$

(c) Đối với biến cố $AC$ ta có $n\left( AC \right)=1.$

(d) Đối với biến cố $BC$ cũng giống như biến cố $AB$ là $n\left( BC \right)=6.$

(e) Đối với biến cố $ABC$ ta có $n\left( ABC \right)=1.$

Vậy \[P\left( \overline{A}\text{ }\overline{B}\text{ }\overline{C}|\overline{A} \right)=\dfrac{720-\left[ 30+30+30-\left( 6+1+6 \right)+1 \right]}{720-30}=\dfrac{107}{115}\Rightarrow p+q=107+115=222.\]

Câu hỏi dành cho các em tự luyện mức độ vận dụng cao

Câu 20. Sáu người có chiều cao khác nhau đang xếp hàng để mua vé xem phim. Xác suất để không có ba người liên tiếp nào có chiều tăng dần, từ trước ra sau biết rằng ba người đầu hàng không có chiều cao tăng dần từ trước ra sau là $\dfrac{p}{q}$ với $p,\text{ }q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q.$

https://askmath.vn/cau-hoi/sau-nguoi-co-chieu-cao-khac-nhau-dang-xep-hang-de-mua-ve-xem-phim/53921

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 49): Xác suất thắng trò chơi tung một con xúc xắc nếu là người tung trước

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.