Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 51): Xác suất con ếch nhảy từ vị trí 0 đến vị trí 10 nếu xác suất nhảy một khoảng cách m nguyên dương đơn vị là 2^(-m)

Một con ếch bắt đầu từ vị trí $0$ trên trục số và thực hiện một chuỗi các bước nhảy sang phải. Trong bất kỳ một bước nhảy nào, luôn độc lập với các bước nhảy trước đó, nó nhảy một khoảng cách $m$ nguyên dương đơn vị với xác suất là ${{2}^{-m}}.$ Xác suất nó đến vị trí $10$ là bao nhiêu?

>>Xem thêm:Xác suất có điều kiện

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Giải. Gọi ${{E}_{k}}$ là biến cố con ếch nhảy sang phải từ vị trí $0$ đến vị trí $k\text{ }\left( k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,9 \right)$ ở đây $k=0$ được hiểu là con ếch đứng yên tại vị trí $0.$

Gọi $A$ là biến cố con ếch nhảy sang phải từ vị trí 0 đến vị trí $10.$

Ta có $P\left( A|{{E}_{k}} \right)={{2}^{10-k}}$ và để thuận tiện ta đặt $P\left( {{E}_{k}} \right)=P\left( k \right).$

Do đó theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( A \right)=P\left( 10 \right)=\sum\limits_{k=0}^{9}{P\left( {{E}_{k}} \right)\cdot P\left( A|{{E}_{k}} \right)}=\sum\limits_{k=0}^{9}{{{2}^{10-k}}P\left( k \right)}.$

Suy ra $P\left( 10 \right)={{2}^{-10}}P\left( 0 \right)+{{2}^{-9}}P\left( 1 \right)+\cdot \cdot \cdot +{{2}^{-2}}P\left( 8 \right)+{{2}^{-1}}P\left( 9 \right)$

Và tương tự thế, ta có: $P\left( 9 \right)={{2}^{-9}}P\left( 0 \right)+{{2}^{-8}}P\left( 1 \right)++\cdot \cdot \cdot +{{2}^{-1}}P\left( 8 \right)$

$=2\left[ {{2}^{-10}}P\left( 0 \right)+{{2}^{-9}}P\left( 1 \right)+\cdot \cdot \cdot +{{2}^{-2}}P\left( 8 \right) \right]=2\left[ P\left( 10 \right)-{{2}^{-1}}P\left( 9 \right) \right]=2P\left( 10 \right)-P\left( 9 \right)$

$\Rightarrow P\left( 10 \right)=P\left( 9 \right).$

Hoàn toàn tương tự thế, suy ra $P\left( 10 \right)=P\left( 9 \right)=P\left( 8 \right)=\cdot \cdot \cdot =P\left( 1 \right)={{2}^{-1}}=0,5.$

Cách 2: Từ vị trí $0$ đến vị trí $10$ con ếch thực hiện một chuỗi $n\text{ }\left( n=1,2,\cdot \cdot \cdot ,10 \right)$ bước nhảy sang phải:

Bước 1: Từ vị trí $0$ nhảy đến đến vị trí thứ nhất có khoảng cách ${{x}_{1}}$ đơn vị.

Bước 2: Từ vị trí thứ nhất nhảy đến vị trí thứ $2$ có khoảng cách ${{x}_{2}}$ đơn vị.

...

Bước n: Từ vị trí thứ $(n-1)$ nhảy đến vị trí thứ $n$ có khoảng cách ${{x}_{n}}$ đơn vị.

Ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}=10$ với ${{x}_{i}}$ là số nguyên dương, đây là bài toán chia kẹo euler có tất cả $C_{10-1}^{n-1}=C_{9}^{n-1}$ nghiệm nguyên dương.

Vậy số cách nhảy sang phải từ vị trí 0 đến vị trí 10 là $\sum\limits_{n=1}^{10}{C_{9}^{n-1}}=C_{9}^{0}+C_{9}^{1}+\cdot \cdot \cdot +C_{9}^{9}={{2}^{9}}.$

Xác suất trong mỗi cách nhảy là ${{2}^{-{{x}_{1}}}}\cdot {{2}^{-{{x}_{2}}}}\cdot \cdot \cdot {{2}^{-{{x}_{n}}}}={{2}^{-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{x}_{10}} \right)}}={{2}^{-10}}.$

Vậy xác suất nó nhảy sang phải từ vị trí $0$ đến vị trí $10$ là ${{2}^{9}}\cdot {{2}^{-10}}={{2}^{-1}}=0,5.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 50): Xác suất không có bốn người liên tiếp nào có chiều tăng dần, từ trước ra sau biết rằng bốn người đầu hàng không có chiều cao tăng dần từ trước ra sau

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.