Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 52): Tất cả 12 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng

Có 12 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu cân đối, đồng chất giống nhau. Tất cả 12 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là $\dfrac{p}{q}$ với $p,\text{ }q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q.$

Giải. Chúng ta sẽ sử dụng tư duy uốn thẳng thành cong (ngược lại tư duy biến cong thành thẳng trong chương hàm số) cho bài toán này. Các em có thể tưởng tượng uốn một thanh thép dài thành một vòng tròn với hai đầu của nó chạm nhau.

Khi tung đồng xu, được mặt ngửa $N$ thì đứng và được mặt sấp $S$ thì ngồi.

Điều kiện của bài toán là không có hai kí tự $N$ cạnh nhau trên một vòng tròn.

Cứ xét thanh thép dài trước:

$N...N$ uốn lại thành vòng tròn không thỏa mãn.

$N...S$ uốn lại thành vòng tròn ok.

$S...N$ uốn lại thành vòng tròn ok.

$S...S$ uốn lại thành vòng tròn ok.

>>Xem thêm:Xác suất có điều kiện

>>Xem thêm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bây giờ ta xử lý bài toán

Gọi $S\left( n \right)$ là số chuỗi $n$ kí tự $S$ và $N$ sao cho không có bất kì hai kí tự $N$ cạnh nhau và chuỗi có kết thúc là kí tự $S.$

Gọi $N\left( n \right)$ là số chuỗi $n$ kí tự $S$ và $N$ sao cho không có bất kì hai kí tự $N$ cạnh nhau và chuỗi có kết thúc là kí tự $N.$

+ Một chuỗi kết thúc bằng kí tự $S$ thì kí tự thứ $\left( n-1 \right)$ có thể là $S$ hoặc $N$ do đó $S\left( n \right)=S\left( n-1 \right)+N\left( n-1 \right).$

+ Một chuỗi kết thúc bằng kí tự $N$ thì kí tự thứ $\left( n-1 \right)$ phải là $S$ do đó $N\left( n \right)=S\left( n-1 \right).$

Bây giờ, ta xét đến uốn thẳng thành cong

+ Một chuỗi kết thúc bằng kí tự $S$ uốn cong lại thành vòng tròn luôn thỏa mãn, vì lúc này hai đầu chạm vào nhau của nó là $SS$ hoặc $NS.$

+ Một chuỗi kết thúc bằng kí tự $N$ uốn cong lại thành vòng tròn để thỏa mãn thì kí tự đầu tiên của nó phải là $S.$

Do đó $\left( n-1 \right)$ kí tự còn lại là một chuỗi kết thúc bằng kí tự $N$ có $N\left( n-1 \right)$ chuỗi như vậy.

Vậy số cách uốn lại thành vòng tròn thỏa mãn là $S\left( n \right)+N\left( n-1 \right)=S\left( n \right)+S\left( n-2 \right).$

Mọi chuyện đến đây đã quá đơn giản, sử dụng MTCT hoặc kiến thức về dãy số (phương trình đặc trưng) tìm số hạng tổng quát của $S\left( n \right)$ ta được:

$S\left( n \right) = \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}} \right){\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}} \right){\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n}\left( {{S_1} = 1,{S_2} = 2} \right).$

Xác suất cần tính là $P=\dfrac{S\left( 12 \right)+S\left( 10 \right)}{{{2}^{12}}}=\dfrac{233+89}{{{2}^{12}}}=\dfrac{161}{2048}\Rightarrow p+q=161+2048=2209.$

Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 51): Xác suất con ếch nhảy từ vị trí 0 đến vị trí 10 nếu xác suất nhảy một khoảng cách m nguyên dương đơn vị là 2^(-m)

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.