Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 53): Tổng ba số được dán trên mỗi ba đỉnh liên tiếp là một số chia hết cho 3

Câu hỏi:

Các đỉnh của một đa giác đều 9 cạnh được dán nhãn bằng các chữ số từ 1 đến 9 (mỗi đỉnh một chữ số khác nhau) sao cho tổng các số trên mỗi ba đỉnh liên tiếp là một số chia hết cho 3. Hai cách dán nhãn được coi là giống nhau nếu có thể thu được cách dán nhãn này từ cách dán nhãn kia bằng cách quay đa giác trong mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu cách dán nhãn?

>>Lời giải

Chia tập hợp $S=\left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$ thành ${{S}_{0}}\cup {{S}_{1}}\cup {{S}_{2}}$ với ${{S}_{0}}=\left\{ 3;6;9 \right\},{{S}_{1}}=\left\{ 1;4;7 \right\},{{S}_{2}}=\left\{ 2;5;8 \right\}$ là các tập hợp chia hết cho 3, chia cho 3 dư 1 và chia cho 3 dư 2.

Xét đa giác đều 9 cạnh là ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdot \cdot \cdot {{A}_{9}}$ và các số trên các đỉnh là ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdot \cdot \cdot ,{{a}_{9}}\in S.$

Xét ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}$ chia hết cho 3, khi đó ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\in {{S}_{0}}$ hoặc ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\in {{S}_{1}}$ hoặc ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\in {{S}_{2}}$ hoặc mỗi số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}$ thuộc một tập khác nhau.

Xét ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\in {{S}_{0}}$ khi đó ${{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}$ chia hết cho 3 nên ${{a}_{4}}\in {{S}_{0}}$ (vô lí), tương tự cho ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\in {{S}_{1}}$ hoặc ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\in {{S}_{2}}.$

Xét mỗi số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}$ thuộc một tập khác nhau:

Giả sử ${{a}_{1}}\in {{S}_{0}},{{a}_{2}}\in {{S}_{1}},{{a}_{3}}\in {{S}_{2}}$ khi đó ${{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}$ chia hết cho 3 nên ${{a}_{4}}\in {{S}_{0}}$

${{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}$ chia hết cho 3 nên ${{a}_{5}}\in {{S}_{1}}$

${{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}$ chia hết cho 3 nên ${{a}_{6}}\in {{S}_{2}}$

${{a}_{5}}+{{a}_{6}}+{{a}_{7}}$ chia hết cho 3 nên ${{a}_{7}}\in {{S}_{0}}$

${{a}_{6}}+{{a}_{7}}+{{a}_{8}}$ chia hết cho 3 nên ${{a}_{8}}\in {{S}_{1}}$

${{a}_{7}}+{{a}_{8}}+{{a}_{9}}$ chia hết cho 3 nên ${{a}_{9}}\in {{S}_{2}}$

${{a}_{9}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}$ chia hết cho 3 nên ${{a}_{2}}\in {{S}_{1}}$ (thỏa mãn)

Như vậy các số trên các đỉnh ${{A}_{1}},{{A}_{4}},{{A}_{7}}$ thuộc ${{S}_{0}};$ các số trên các đỉnh ${{A}_{2}},{{A}_{5}},{{A}_{8}}$ thuộc ${{S}_{1}};$ các số trên các đỉnh ${{A}_{3}},{{A}_{6}},{{A}_{9}}$ thuộc ${{S}_{2}}$ và hoán vị của chúng.

Số cách dán nhãn (gồm cả giống nhau theo phép quay) là $3!\cdot \left( 3!\cdot 3!\cdot 3! \right)={{\left( 3! \right)}^{4}}.$

Hai cách dán nhãn được coi là giống nhau nếu có thể thu được cách dán nhãn này từ cách dán nhãn kia bằng cách quay đa giác trong mặt phẳng. Do vậy số cách dán nhãn khác nhau là $\dfrac{{{\left( 3! \right)}^{4}}}{9}=144.$

>>Xem thêm: Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 52): Tất cả 12 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Combo X các em học kết hợp giữa bài giảng, tài liệu, đề thi có sẵn đã phát hành tại vted.vn và các bài giảng Live Fb được cập nhật trong năm học (kéo dài từ T9.2025 đến T6.2026)