Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 54): Tổng ba số trên mỗi cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng

Câu hỏi:

Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập $S=\{11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19\}$ và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí $A, B, C, M, N, P$ như hình bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $(A, M, B) ;(B, N, C) ;(C, P, A)$ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là $a.$ Giá trị của $\dfrac{1}{a}$ bằng bao nhiêu?

>>Lời giải

Số cách chọn ra 6 số và xếp ngẫu nhiên là $C_{9}^{6}\cdot 6!=A_{9}^{6}.$

Điều kiện: $A+B=2M;B+C=2N;C+A=2P\Rightarrow $mỗi cặp $\left( A;B \right),\left( B;C \right),\left( C;A \right)$ cùng tính chẵn lẻ hay $A,B,C$ cùng tính chẵn lẻ.

Phân chia tập $S={{S}_{1}}\cup {{S}_{2}},\text{ }{{S}_{1}}=\left\{ 11;13;15;17;19 \right\},\text{ }{{S}_{2}}=\left\{ 12;14;16;18 \right\}.$

Khi đã chọn và xếp $A,B,C$ thì rõ ràng mỗi số $M=\dfrac{A+B}{2},N=\dfrac{B+C}{2},P=\dfrac{C+A}{2}$ chỉ có duy nhất một cách chọn và xếp.

Giờ ta phải xét thêm điều kiện: khi $A,B,C$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ (tất nhiên phân biệt được chọn ra từ ${{S}_{1}}$ hoặc ${{S}_{2}}$ giả sử $A<B<C$) thì 6 số $A,B,C,M,N,P$ phải phân biệt.

Rõ ràng $A\ne B\ne C\Rightarrow M\ne N\ne P$ và $M\ne A,M\ne B;N\ne B,N\ne C;P\ne C,P\ne A.$

Xét $M=C\Leftrightarrow A+B=2C$ (không xảy ra);

Xét $N=A\Leftrightarrow B+C=2A$ (không xảy ra);

Xét $P=B\Leftrightarrow A+C=2B$

Với $A,B,C$ cùng lẻ có bốn bộ $\left( A;B;C \right)$ vi phạm là $\left( 11;13;15 \right),\left( 11;15;19 \right),\left( 13;15;17 \right),\left( 15;17;19 \right).$

Với $A,B,C$ cùng chẵn có hai bộ $\left( A;B;C \right)$ vi phạm là $\left( 12;14;16 \right),\left( 14;16;18 \right).$

TH1: Nếu $A,B,C$ cùng lẻ có $C_{5}^{3}-4$ bộ ba số thỏa mãn, sau đó xếp ba số này vào 3 vị trí của chúng có $3!$ cách và $M,N,P$ mỗi số có một cách chọn và xếp.

TH2: Nếu $A,B,C$ cùng chẵn có $C_{4}^{3}-2$ bộ ba số thỏa mãn, sau đó xếp ba số này vào 3 vị trí của chúng có $3!$ cách và $M,N,P$ mỗi số có một cách chọn và xếp.

Vậy có tất cả \[\left( C_{5}^{3}-4 \right)3!+\left( C_{4}^{3}-2 \right)3!\] cách chọn và sắp xếp thỏa mãn.

Khi đó \[a=\dfrac{\left( C_{5}^{3}-4 \right)3!+\left( C_{4}^{3}-2 \right)3!}{A_{9}^{6}}=\dfrac{1}{1260}\Rightarrow \dfrac{1}{a}=1260.\]

>>Xem thêm: Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 53): Tổng ba số được dán trên mỗi ba đỉnh liên tiếp là một số chia hết cho 3

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Combo X các em học kết hợp giữa bài giảng, tài liệu, đề thi có sẵn đã phát hành tại vted.vn và các bài giảng Live Fb được cập nhật trong năm học (kéo dài từ T9.2025 đến T6.2026)