Mỗi ngày một bài toán tổ hợp, xác suất (Câu số 7): Số tự nhiên đối xứng

Định nghĩa số tự nhiên đối xứng là số khi đọc từng chữ số của nó theo chiều từ trái qua phải cũng giống như theo chiều từ phải qua trái. Ví dụ, $1221$ là một số tự nhiên đối xứng. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên đối xứng $N$ có $6$ chữ số. Xác suất để $\dfrac{N}{11}$ cũng là một số tự nhiên đối xứng là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải. Số tự nhiên đối xứng có $6$ chữ số dạng \[N=\overline{abccba}.\]

Ta có $a\in \left\{ 1,...,9 \right\},b\in \left\{ 0,...,9 \right\},c\in \left\{ 0,...,9 \right\}\Rightarrow 9.10.10=900$ số.

Số tự nhiên đối xứng có $6$ chữ số nhỏ nhất là \[N=100001\Rightarrow \dfrac{N}{11}=\dfrac{100001}{11}=9091\]

Vậy nếu \[\dfrac{N}{11}\in \left\{ 9119,9229,...,9999 \right\}\Rightarrow N\in \left\{ 100309,101519,...,109989 \right\}\] không là số tự nhiên đối xứng.

Xét các số tự nhiên đối xứng $\dfrac{N}{11}=\overline{abcba}\Rightarrow N=11\times \overline{abcba}=\left( 10+1 \right)\overline{abcba}=10\overline{abcba}+\overline{abcba}$

$=10\left( a{{.10}^{4}}+b{{.10}^{3}}+c{{.10}^{2}}+b{{.10}^{1}}+a \right)+\left( a{{.10}^{4}}+b{{.10}^{3}}+c{{.10}^{2}}+b{{.10}^{1}}+a \right)$

$=\left( a{{.10}^{5}}+b{{.10}^{4}}+c{{.10}^{3}}+b{{.10}^{2}}+a{{.10}^{1}} \right)+\left( a{{.10}^{4}}+b{{.10}^{3}}+c{{.10}^{2}}+b{{.10}^{1}}+a \right)$

$=a{{.10}^{5}}+\left( a+b \right){{.10}^{4}}+\left( b+c \right){{.10}^{3}}+\left( b+c \right){{.10}^{2}}+\left( a+b \right){{.10}^{1}}+a$

$=\overline{a\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( b+c \right)\left( a+b \right)a}$ là một số tự nhiên đối xứng khi $a+b\le 9;b+c\le 9.$

Ta cần tìm số cách chọn các chữ số $a,b,c$ sao cho: \[a+b\le 9;b+c\le 9;1\le a\le 9;0\le b\le 9;0\le c\le 9.\]

Với mỗi $a\in \left\{ 1,...,9 \right\}$ được chọn trước thì \[b\in \left\{ 0,...,9-a \right\}\] và tương ứng $c$ sẽ có \[10,9,...,a+1\] cách chọn.

Vậy số cách khi đã chọn $a$ là \[10+9+...+\left( a+1 \right)=\left[ 1+2+...+10 \right]-\left[ 1+2+...+\left( a+1 \right) \right]=55-\dfrac{a\left( a+1 \right)}{2}\]

Tổng số cách chọn là \[\sum\limits_{a=1}^{9}{\left[ 55-\dfrac{a\left( a+1 \right)}{2} \right]}=330.\] Xác suất cần tính là $\dfrac{330}{900}=\dfrac{11}{30}\approx 36,67\%.$

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.