Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 10): Diện tích của bông hoa giới hạn bởi các cạnh hình vuông và đường cong kín (L) tạo bởi điểm M di động trên cạnh hình vuông và điểm N trên tia OM sao cho MN=2

Người nghệ sĩ vẽ một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông $A B C D$ tâm $O$ bằng một đường cong kín $(L)$ rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $A B C D$ và tia $O M$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $MN = 2{\text{ dm}}.$ Biết rằng $AB = 8{\text{ dm}}.$ Phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 6): Diện tích của con đường dạo bộ trong một công viên

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 5): Diện tích của chiếc diều

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Diện tích của cả hình vuông là ${{8}^{2}}.$ Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét) sao cho các đỉnh và tâm hình vuông là

$A\left( -4;4 \right),B\left( -4;4 \right),C\left( 4;4 \right),D\left( 4;-4 \right),O\left( 0;0 \right)$

Phương trình các cạnh $AB:x=-4,BC:y=4,CD:x=4,DA:y=-4.$

Vì tính đối xứng của $\left( L \right)$ ta chỉ cần xét phần của $\left( L \right)$ nằm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba của hệ trục tọa độ (kết quả sẽ nhân bốn phần này).

Gọi $M\left( -4;m \right)\in AB,\text{ }N\left( x;y \right)\left( -4\le m\le 4;-4<x<0 \right)\Rightarrow ON=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ và $OM=ON+MN=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+2.$

Gọi $H,\text{ }K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,\text{ }N$ lên trục tung.

Theo Thales, ta có:

$\dfrac{ON}{OM}=\dfrac{OK}{OH}=\dfrac{NK}{HM}\Rightarrow \dfrac{-x}{4}=\dfrac{\left| y \right|}{\left| m \right|}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+2}=\dfrac{t}{t+2}\text{ }\left( \text{ }t=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)$

$\Rightarrow 4t=-x\left( t+2 \right)\Leftrightarrow t\left( x+4 \right)=-2x\Leftrightarrow t=-\dfrac{2x}{x+4}$

$\Rightarrow y=\pm \sqrt{{{t}^{2}}-{{x}^{2}}}=\pm \sqrt{\dfrac{4{{x}^{2}}}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}-{{x}^{2}}}$ tương ứng với nửa trên trục hoành và nửa dưới trục hoành.

Xét một phần tư bông hoa giới hạn bởi $\left( L \right),$ đoạn thẳng $OA:y=x$ và đoạn thẳng $OB:y=-x.$

Xét $\left( L \right)\cap OA=E\left( -4+\sqrt{2};-4+\sqrt{2} \right),\text{ }\left( L \right)\cap OB=F\left( -4+\sqrt{2};4-\sqrt{2} \right)$

$\Rightarrow OE=OF=-\sqrt{2}x=4\sqrt{2}-2\Rightarrow {{S}_{OEF}}=\dfrac{1}{2}OE\cdot OF=\dfrac{1}{2}{{\left( 4\sqrt{2}-2 \right)}^{2}}.$

Xét $\left( L \right)\cap Ox=\left( -2;0 \right).$

Vậy diện tích cả công hoa là $4\left[ \dfrac{1}{2}{{\left( 4\sqrt{2}-2 \right)}^{2}}-\int\limits_{-4+\sqrt{2}}^{-2}{2\sqrt{\dfrac{4{{x}^{2}}}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}-{{x}^{2}}}dx} \right].$

Vậy diện tích phần tô màu đen là bên ngoài bông hoa là

${{8}^{2}}-4\left[ \dfrac{1}{2}{{\left( 4\sqrt{2}-2 \right)}^{2}}-\int\limits_{-4+\sqrt{2}}^{-2}{2\sqrt{\dfrac{4{{x}^{2}}}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}-{{x}^{2}}}dx} \right]\approx 43,8415389\text{ d}{{\text{m}}^{2}}\approx 4384\text{ c}{{\text{m}}^{2}}.$

Các câu hỏi tương tự, dành cho các em tự luyện

Câu 1. Hình vẽ dưới đây cho biết một miền $\left( H \right)$ (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng $4.$ Miền $\left( H \right)$ này là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông không vượt quá khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông. Tính diện tích miền $\left( H \right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2. Một miếng bìa hình vuông $ABCD$ tâm $O$ có cạnh bằng \[8\] và hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi một đường cong kín $(L).$ Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $ABCD$ và tia $OM$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $OM\cdot ON=8.$ Tính diện tích miền $\left( H \right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 3. Người ta tạo ra một lối đi xung quanh một sân chơi hình vuông $ABCD$ tâm $O$ giới hạn bởi các cạnh của hình vuông và một đường cong kín $(L)$ (hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $ABCD$ và tia $OM$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $MN=2\text{ m}\text{.}$

Biết rằng $AB=8\text{ m}\text{.}$ Diện tích của lối đi đó là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 4. Người ta tạo ra một lối đi xung quanh một sân chơi hình tam giác đều $ABC$ tâm $O$ giới hạn bởi các cạnh của tam giác và một đường cong kín $(L)$ (hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của tam giác $ABC$ và tia $OM$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $MN=2\text{ m}\text{.}$

Biết rằng $OA=6\text{ m}\text{.}$ Diện tích của lối đi đó là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 5. Người ta tạo ra một lối đi xung quanh một sân chơi hình lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ giới hạn bởi các cạnh của lục giác và một đường cong kín $(L)$ (hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của lục giác và tia $OM$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $MN=2\text{ m}\text{.}$ Biết rằng $OA=8\text{ m}\text{.}$ Diện tích của lối đi đó là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 6. Người ta thiết kế một dải sóng trên những viên gạch lát sàn hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=160\text{ cm},\text{ }AD=80\text{ cm}$ bằng hai đường cong $\left( {{L}_{1}} \right),\text{ }\left( {{L}_{2}} \right)$ và các cạnh hình chữ nhật như hình vẽ.

Biết rằng, nếu $M$ là điểm thuộc $\left( {{L}_{1}} \right)$ thì $MA=\sqrt{5}d\left( M,BD \right)$ và nếu $N$ là điểm thuộc $\left( {{L}_{2}} \right)$ thì $ND=\sqrt{5}d\left( N,\Delta  \right)$ với $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BD.$ Diện tích của dải sóng trên mỗi viên gạch này là bao nhiêu centimét vuông? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 7. Người ta thiết kế hoa văn trên những viên gạch lát sàn hình vuông độ dài cạnh là $1\text{ m}$ với phần ở giữa là một bông hoa giới hạn bởi đường cong kín $\left( L \right).$

Biết rằng nếu $M$ là điểm thuộc $\left( L \right)$ thì khoảng cách từ nó đến một đỉnh của hình vuông bằng $\sqrt{2}$ lần khoảng cách từ nó đến đường chéo của hình vuông không đi qua đỉnh đó. Diện tích của bông hoa trên mỗi viên gạch này là bao nhiêu centimét vuông? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 9): Diện tích của miền phẳng là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông không vượt quá khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.