Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 3): Diện tích của vầng trăng khuyết

Bản vẽ thiết kế của một vầng trăng khuyết trên một hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) là hình phẳng giới hạn bởi một đường tròn và đường cong $y={{a}^{x}}$ mà giao điểm của chúng là hai điểm $A\left( -4;\dfrac{1}{16} \right),\text{ }B\left( 2;4 \right)$ đồng thời $AB$ là một đường kính của đường tròn (phần tô đậm trong hình vẽ).

Diện tích của vầng trăng khuyết đó là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Giải. Đường tròn đường kính $AB$ có tâm $I\left( -1;2+\dfrac{1}{32} \right)$ là trung điểm của $AB$ và bán kính bình phương là

${{R}^{2}}=I{{B}^{2}}={{3}^{2}}+{{\left( 2-\dfrac{1}{32} \right)}^{2}}=\dfrac{13185}{1024}.$

Đường cong $y={{a}^{x}}$ qua điểm $B\left( 2;4 \right)$ nên ${{a}^{2}}=4\Rightarrow a=2\Rightarrow y={{2}^{x}}.$

Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $AB$ và đường cong $y={{2}^{x}}.$

Ta có $AB:y=\dfrac{4-\dfrac{1}{16}}{2-\left( -4 \right)}\left( x-2 \right)+4=\dfrac{21x}{32}+\dfrac{43}{16}.$

Vậy diện tích vầng trăng khuyết là

${{S}_{\text{VTK}}}=\dfrac{1}{2}\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}-{{S}_{\text{H}}}=\dfrac{1}{2}\cdot \pi \cdot \dfrac{13185}{1024}-\int\limits_{-4}^{2}{\left[ \dfrac{21x}{32}+\dfrac{43}{16}-{{2}^{x}} \right]dx}\approx 13,72\text{ }{{\text{m}}^{2}}.$

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

Các em tự luyện với câu hỏi tương tự, nhưng khó hơn một chút sau đây:

Câu 1. Bản vẽ thiết kế của một vầng trăng khuyết trên một hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) là hình phẳng giới hạn bởi một đường tròn có tâm $I\left( 0;3 \right),$ bán kính $2\sqrt{3}$ và đường cong $y={{a}^{x}}\text{ }\left( a>1 \right)$ mà giao điểm của chúng là hai điểm $A,\text{ }B$ đồng thời $AB$ là một đường kính của đường tròn (phần tô đậm trong hình vẽ).

Diện tích của vầng trăng khuyết đó là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 2. Bản vẽ thiết kế của một logo (phần tô đậm trong hình vẽ) trên một hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) là hình phẳng giới hạn bởi một đường tròn và hai đường cong $y={{a}^{x}},\text{ }y={{\log }_{b}}x$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x$ với bốn giao điểm giữa chúng là $A,\text{ }B,\text{ }C$ và $D.$ Biết rằng tổng hoành độ, tích tung độ của hai điểm $A,\text{ }B$ lần lượt là $6;\text{ }8$ và tích hoành độ của hai điểm $C,\text{ }D$ là $-\dfrac{1}{4}.$

Diện tích của vầng trăng khuyết đó là bao nhiêu centimét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 3. Một bức tường hình chữ nhật \[ABCD\] có kích thước \[6\text{ (m)}\times \text{4 (m),}\] được bạn An trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị \[f(x)={{a}^{x}},\] \[g(x)={{\log }_{b}}x\] đối xứng nhau qua đường thẳng \[d:y=x\] và chia thành ba phần (tham khảo hình vẽ bên). Phần \[{{H}_{1}}\] được sơn màu xanh da trời, phần \[{{H}_{2}}\] được sơn màu vàng, phần \[{{H}_{3}}\] được sơn màu xanh lá cây. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu chỉ sơn được \[3\text{ (}{{\text{m}}^{\text{2}}}\text{)}\] tường, đồng thời giá của hộp sơn màu xanh da trời là \[100.000\] đồng\[/\]hộp, hộp sơn vàng là \[140.000\] đồng\[/\]hộp, hộp sơn xanh lá cây là \[130.000\] đồng\[/\]hộp. Tính giá tiền bạn Hà mua để sơn bức tường này ? (đơn vị là triệu đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).

Giải. Hai đồ thị \[f(x)={{a}^{x}},\] \[g(x)={{\log }_{b}}x\] đối xứng nhau qua đường thẳng \[d:y=x\] khi $a=b.$

Điểm $\left( 3;2 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $g\left( x \right)={{\log }_{b}}x$ nên ${{\log }_{b}}3=2\Leftrightarrow {{b}^{2}}=3\Rightarrow a=b=\sqrt{3}.$

Ta có ${{S}_{{{H}_{1}}}}+{{S}_{{{H}_{2}}}}+{{S}_{{{H}_{3}}}}={{S}_{ABCD}}=6.4=24.$

Xét ${{\sqrt{3}}^{x}}=2\Leftrightarrow x={{\log }_{\sqrt{3}}}2\Rightarrow {{S}_{{{H}_{1}}}}=\int\limits_{-3}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}{\left( 2-{{\sqrt{3}}^{x}} \right)dx}\approx 5,23$ (lưu vào biến nhớ A)

Ta có $A:3\approx 1,74$ nên cần mua 2 hộp sơn màu xanh da trời.

Xét ${{\log }_{\sqrt{3}}}x=-2\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{{{H}_{3}}}}=\int\limits_{\dfrac{1}{3}}^{3}{\left( {{\log }_{\sqrt{3}}}x+2 \right)dx}\approx 7,14$ (lưu vào biến nhớ B)

Ta có $B:3\approx 2,38$ nên cần mua 3 hộp sơn màu xanh lá cây.

Ta có $\dfrac{{{S}_{{{H}_{2}}}}}{3}=\dfrac{24-{{S}_{{{H}_{1}}}}-{{S}_{{{H}_{3}}}}}{3}=\dfrac{24-A-B}{3}\approx 3,87$ nên cần mua 4 hộp sơn màu vàng.

Số tiền mua sơn là $2\times 0,1+3\times 0,13+4\times 0,14=1,15$ (triệu đồng).

>>Xem thêm: Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 2): Thể tích nước tối đa mà một chậu rửa lavabo chứa được

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.