Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao $18\,\text{m},$ chiều rộng chân đế $12\,\text{m}.$ Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB,\text{ }CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí này bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Giải. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:

Phương trình parabol là $y=a\left( x+6 \right)\left( x-6 \right)=a\left( {{x}^{2}}-36 \right);y\left( 0 \right)=18\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+18.$

Diện tích của hình parabol là $S=\int\limits_{-6}^{6}{\left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+18 \right)dx}=144.$

Vì hai sợi dây trang trí $AB,\text{ }CD$ nằm ngang nên phương trình các đường thẳng

$AB:y=m,\text{ }CD:y=n\text{ }(m>n>0).$

 Gọi diện tích các hình phẳng là ${{S}_{1}}:\left\{ y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+18,y=m \right\},\text{ }{{S}_{2}}:\left\{ y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+18,y=n \right\}.$

Theo giả thiết có ${{S}_{2}}-{{S}_{1}}={{S}_{1}}=\dfrac{S}{3}=48.$

Note: Công thức tính nhanh diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ và đường thẳng $y=mx+n$ là ${{S}^{2}}=\dfrac{{{\Delta }^{3}}}{36{{a}^{4}}}=\dfrac{{{\left[ {{\left( b-m \right)}^{2}}-4a\left( c-n \right) \right]}^{3}}}{36{{a}^{4}}}.$

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+18=m\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+m-18=0$

$\Rightarrow S_{1}^{2}=\dfrac{\Delta _{1}^{3}}{36a_{0}^{4}}=\dfrac{{{\left( 0-2\left( m-18 \right) \right)}^{3}}}{36{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{4}}}={{48}^{2}}\Rightarrow m=18-6\sqrt[3]{3}.$

Tương tự $S_{2}^{2}=\dfrac{\Delta _{2}^{3}}{36a_{0}^{4}}=\dfrac{{{\left( 0-2\left( n-18 \right) \right)}^{3}}}{36{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{4}}}={{96}^{2}}\Rightarrow n=18-6\sqrt[3]{12}.$

Khoảng cách giữa hai sợi dây là $d\left( AB,CD \right)=\left| m-n \right|=6\sqrt[3]{12}-6\sqrt[3]{3}\approx 5,1\text{ m}\text{.}$

Chú ý. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $ax+by+m=0,\text{ }ax+by+n=0$ là $d=\dfrac{\left| m-n \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}.$

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 3): Diện tích của vầng trăng khuyết

Các em tự luyện với câu hỏi tương tự, nhưng khó hơn một chút sau đây:

Câu 1. Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao $18\,\text{m},$ chiều rộng chân đế $12\,\text{m}.$ Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB,\,\,CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$ bằng

Câu 2. Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao $18\,\text{m},$ chiều rộng chân đế $12\,\text{m}.$ Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB,\text{ }CD$ cùng tạo với phương ngang góc ${{30}^{\circ }}$ đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí này bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

>>Xem thêm: Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 2): Thể tích nước tối đa mà một chậu rửa lavabo chứa được

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.