Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 8): Thể tích của vật thể trong không gian Oxyz (khối bát diện đều, chiếc đĩa bay)

Trong không gian $Oxyz,$ cho khối đa diện $\left( H \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $\left| x \right|+\left| y \right|+\left| z \right|\le 16$ và $\left| x-2 \right|+\left| y \right|+\left| z \right|\le 16.$ Thể tích của khối đa diện $(H)$ là bao nhiêu?

Giải. Rút ra $\left| y \right|+\left| z \right|\le 16-\left| x \right|,\text{ }\left| y \right|+\left| z \right|\le 16-\left| x-2 \right|.$

TH1: $16-\left| x \right|\ge 16-\left| x-2 \right|\ge 0\Leftrightarrow -14\le x\le 1\Rightarrow \left| y \right|+\left| z \right|\le 16-\left| x-2 \right|=16-\left( 2-x \right)=k.$

Thiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }\left( -14\le x\le 1 \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $\left( x;y;z \right)$ với $\left| y \right|+\left| z \right|\le k$ đây là hình vuông có diện tích là $2{{k}^{2}}=2{{\left( 16-\left( 2-x \right) \right)}^{2}}.$

Vậy thể tích cho trường hợp này là \[{{V}_{\text{O}{{\text{x}}_{1}}}}=\int\limits_{-14}^{1}{2{{\left( 16-\left( 2-x \right) \right)}^{2}}dx}=2250.\]

TH2: $16-\left| x-2 \right|\ge 16-\left| x \right|\ge 0\Leftrightarrow 1\le x\le 16\Rightarrow \left| y \right|+\left| z \right|\le 16-\left| x \right|=16-x=k.$

Thiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }\left( 1\le x\le 16 \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $\left( x;y;z \right)$ với $\left| y \right|+\left| z \right|\le k$ đây là hình vuông có diện tích là $2{{k}^{2}}=2{{\left( 16-x \right)}^{2}}.$

Vậy thể tích cho trường hợp này là \[{{V}_{\text{O}{{\text{x}}_{2}}}}=\int\limits_{1}^{16}{2{{\left( 16-x \right)}^{2}}dx}=2250.\]

Vậy ${{V}_{\left( H \right)}}={{V}_{\text{O}{{\text{x}}_{1}}}}+{{V}_{\text{O}{{\text{x}}_{2}}}}=2250+2250=4500.$

Ghi chú. Tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;y;z \right)$ với $z$ cố định, thỏa mãn \[a\cdot \left| x \right|+b\cdot \left| y \right|\le k\text{ }\left( k,a,b>0 \right)\] là một hình thoi có diện tích là $\dfrac{2{{k}^{2}}}{ab}.$

Lời giải số 2, các em tham khảo câu hỏi dưới đây:

Trong không gian $Oxyz,$ tập hợp tất cả các điểm $M(x;y;z)$ thoả mãn $\left| x \right|+\left| y \right|+\left| z \right|\le 2$ và $\left| x-2 \right|+\left| y \right|+\left| z \right|\le 2$ là một khối đa diện có thể tích bằng

Tập hợp các điểm $(x;y;z)$ thoả mãn $\left| x \right|+\left| y \right|+\left| z \right|\le 2$ là một khối bát diện đều $({{H}_{1}})$ có các đỉnh  là ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{6}}.$ trong đó ${{A}_{1}}(2;0;0),{{A}_{6}}(-2;0;0),{{A}_{2}}(0;2;0),{{A}_{4}}(0;-2;0),{{A}_{3}}(0;0;2),{{A}_{5}}(0;0;-2).$ Độ dài cạnh của bát diện đều này bằng $2\sqrt{2}.$

Tập hợp các điểm $(x;y;z)$ thoả mãn $\left| x-2 \right|+\left| y \right|+\left| z \right|\le 2$ là một khối bát diện đều $({{H}_{2}})$ có được bằng cách tịnh tiến $({{H}_{1}})$ theo trục $Ox$ sang phải 2 đơn vị.

Vậy tập hợp tất cả các điểm $M(x;y;z)$ thoả mãn $\left| x \right|+\left| y \right|+\left| z \right|\le 2$ và $\left| x-2 \right|+\left| y \right|+\left| z \right|\le 2$ là phần chung của $({{H}_{1}})$ và $({{H}_{2}})$ cũng là một khối bát diện đều có độ dài cạnh bằng $\sqrt{2}.$

Thể tích khối bát diện đều cạnh bằng $\sqrt{2}$ là $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{(\sqrt{2})}^{3}}=\dfrac{4}{3}.$

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 6): Diện tích của con đường dạo bộ trong một công viên

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 5): Diện tích của chiếc diều

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Các câu hỏi tương tự, dành cho các em tự luyện

Câu 1. Trong không gian $Oxyz,$ cho khối đa diện $\left( H \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $2\left| x-1 \right|+3\left| y-2 \right|+\left| z \right|\le 16$ và $2\left| x-1 \right|+3\left| y-2 \right|+\left| z-3 \right|\le 16.$ Thể tích của khối đa diện $(H)$ là bao nhiêu?

Câu 2. Bản vẽ thiết kế của một chiếc đĩa bay UFO trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) là tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}\le 4$ và $\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}+{{z}^{2}}\le 16.$

Thể tích của chiếc đĩa bay này là bao nhiêu mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 3. Bản vẽ thiết kế phần đầu của một tên lửa trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) là tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+z\ge 40,\text{ }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+z\le 45$ và $z\ge -50.$ Thể tích vật liệu làm phần đầu của chiếc tên lửa này là bao nhiêu centimét khối? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 4. Bản vẽ thiết kế chân của một chiếc bàn Console (bàn trang trí đặt tại ví trí hành lang) trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét) là tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\dfrac{3}{2}{{\left( z-\dfrac{9}{2} \right)}^{2}}\le \dfrac{45}{8}\] và $0\le z\le 9.$ Thể tích vật liệu làm chân của chiếc bàn này là bao nhiêu decimét khối? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 5. Một cái hồ lô trang trí được thiết kế phần chứa nước có thể tích bằng với thể tích của một vật thể $(V)$ trong không gian. Biết rằng, điểm $M$ thuộc $(V)$ khi và chỉ khi $MA\le \sqrt{2}\text{ dm}$ hoặc $MB\le \sqrt{5}\text{ dm}$; trong đó $A$ và $B$ là hai điểm cố định, $AB=3\text{ dm}.$ Thể tích phần chứa nước của hồ lô đó là bao nhiêu lít? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Câu 6. Bản vẽ thiết kế bề mặt trong của một chiếc bồn tắm nằm cỡ lớn trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét) là tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn \[-1\le z\le 4\] và \[z=\dfrac{16{{x}^{2}}}{81}+\dfrac{64{{y}^{2}}}{81}-12.\]

Hỏi chiếc bồn tắm này chứa được tối đa bao nhiêu lít nước? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 7. Trong không gian $Oxyz,$ cho vật thể $\left( H \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $x,\text{ }y,\text{ }z\in \left[ 0;4 \right]$ và $x,\text{ }y,\text{ }z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Thể tích của $\left( H \right)$ là bao nhiêu?

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.