Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 9): Diện tích của miền phẳng là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông không vượt quá khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông

Hình vẽ dưới đây cho biết một miền $\left( H \right)$ (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng $4.$ Miền $\left( H \right)$ này là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông không vượt quá khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông. Tính diện tích miền $\left( H \right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 8): Thể tích của vật thể trong không gian Oxyz (khối bát diện đều, chiếc đĩa bay)

Giải. Chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh và tâm hình vuông là $A\left( -2;-2 \right),B\left( 2;-2 \right),C\left( 2;2 \right),D\left( -2;2 \right),O\left( 0;0 \right).$

Phương trình các cạnh $AB:y=-2,BC:x=2,CD:y=2,DA:x=-2.$

Xét điểm $M\left( x;y \right)\in \left( H \right)\Leftrightarrow OM\le d\left( M,AB \right),d\left( M,BC \right),d\left( M,CD \right),d\left( M,DA \right)$

Vì tính đối xứng của $\left( H \right)$ ta chỉ cần xét phần của $\left( H \right)$ nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ (kết quả sẽ nhân bốn phần này).

Ta có \[OM\le d\left( M,CD \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{\left( x-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}\le 4-4x\Rightarrow -2\sqrt{1-x}\le y\le 2\sqrt{1-x}.\]

Và $OM\le d\left( M,DA \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{\left( y-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y\le -\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+1.$

Phần hình phẳng thuộc góc phần tư thứ nhất giới hạn bởi các đường $x=0,y=0,y=2\sqrt{1-x},y=-\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+1.$

Xét $2\sqrt{1-x}=0\Leftrightarrow x=1.$

Xét $2\sqrt{1-x}=-\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}-2\text{ }\left( \text{STO A} \right)$ (Các em thực hiện SHIFT SOLVE và lưu vào biến nhớ A trong MTCT).

Vậy ${{S}_{\left( H \right)}}=4\left[ \int\limits_{0}^{A}{\left( -\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+1 \right)dx+\int\limits_{A}^{1}{2\sqrt{1-x}dx}} \right]=\dfrac{64\sqrt{2}}{3}-\dfrac{80}{3}\approx 3,5.$

Ghi chú. Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ đến đường thẳng $d:ax+by+c=0$ là $\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}.$

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 6): Diện tích của con đường dạo bộ trong một công viên

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 5): Diện tích của chiếc diều

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Các câu hỏi tương tự, dành cho các em tự luyện

Câu 1. Một miếng bìa hình vuông $ABCD$ tâm $O$ có cạnh bằng \[8\] và hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi một đường cong kín $(L).$ Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $ABCD$ và tia $OM$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $OM\cdot ON=8.$ Tính diện tích miền $\left( H \right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2. Người nghệ sĩ vẽ một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông $A B C D$ tâm $O$ bằng một đường cong kín $(L)$ rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $A B C D$ và tia $O M$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $MN = 2{\text{ dm}}.$ Biết rằng $AB = 8{\text{ dm}}.$ Phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.